[科普中國(guó)]-n維射影變換

n維射影變換(n-dimensional projective transformation)亦稱n維直射對(duì)應(yīng)，是一類n維變換。指Pn中的一一對(duì)應(yīng)1。

基本介紹定義1 n維射影空間的點(diǎn)變換若滿足，則稱變換為射影變換，又稱直射變換，其中，為標(biāo)量，x與y分別為變換前后空間點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，，M為滿秩的(n+1)×(n+1)矩陣。

我們以一維射影變換為例寫(xiě)出上述變換：

由上式得

將以上兩式相除得到變換前后點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)的關(guān)系：

由式(4)可知，射影變換中，非齊次坐標(biāo)的變換關(guān)系是非線性的。一般地，n維射影變換的矩陣等式中包含了n+1個(gè)方程，消去后，得到變換前后非齊次坐標(biāo)的n個(gè)方程。

由定義，射影變換由M矩陣決定，而M矩陣有(n+1)2個(gè)參數(shù)，但M與kM表示同一變換(因等式兩邊都是齊次坐標(biāo))，故M的獨(dú)立參數(shù)為(n+1)2-12。

相關(guān)定理定理1由式(1)表達(dá)的變換保持直線上點(diǎn)列的交比不變，即

其中A，B，C，D與A'，B’，C’，D'分別為變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與分別為這些點(diǎn)的非齊次射影坐標(biāo)。事實(shí)上，交比中的每一項(xiàng)應(yīng)是兩點(diǎn)間非齊次射影坐標(biāo)的差，只有當(dāng)直線上的坐標(biāo)系為歐氏坐標(biāo)系時(shí)，才等于兩點(diǎn)間的距離。

射影變換的幾何定義與代數(shù)定義是一致的，這一點(diǎn)可由以下定理得到：

定理2 保持點(diǎn)列的交比不變是射影變換的充分必要條件。

由幾何方法定義的射影變換和由代數(shù)方法定義的射影變換都保持交比不變，故由定理2知，它們是同一種變換2。

仿射變換是射影變換的特例，在射影幾何中已證明，如果射影變換使無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)仍變換為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則變換為仿射變換，在上述一維變換中，若x為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則x2=0，于是，上述仿射變換的條件變?yōu)?，?duì)任何滿足x2=0的點(diǎn)，變換后有y2=0。于是，由式(3)可容易地推出，該條件相當(dāng)于m21=0。一般地，對(duì)n維射影變換，仿射變換的條件變?yōu)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/ABnvbHXXkdMSvdySEu2HPpjqBNFL21dcWusQ.jpg" alt="" />，即M矩陣的最后一行的前n個(gè)元素等于零。以兩維為例，我們有：

上式可寫(xiě)成

消去并記得到非齊次坐標(biāo)的變換形式：

將式(6)與射影變換中非齊次坐標(biāo)的變換關(guān)系相比較(見(jiàn)式4)，可見(jiàn)，用非齊次坐標(biāo)表示的射影變換為非線性變換，而仿射變換為線性變換，我們將式(6)寫(xiě)成矩陣形式，并給出仿射變換的定義。

定義2 空間點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)的如下變換稱為仿射變換：

其中為n維向量，分別為變換前后的點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)，M為n×n滿秩矩陣。顯然，歐氏變換為仿射變換的特例，即當(dāng)M為單位正交矩陣時(shí)，式(7)描述的變換即為歐氏空間中的旋轉(zhuǎn)平移變換.從以上定義可以看到，仿射變換是射影變換的特例，歐氏變換則又是仿射變換的特例2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所