[科普中國]-簡(jiǎn)單n點(diǎn)形

簡(jiǎn)單n點(diǎn)形(simple n-gon)是一種簡(jiǎn)單的平面圖形，即由平面上的n個(gè)點(diǎn)(n≥3，其中無三點(diǎn)共線)及它們順次兩兩連結(jié)的n條直線所組成的平面圖形，這n個(gè)點(diǎn)稱為簡(jiǎn)單n點(diǎn)形的頂點(diǎn)，n條直線稱為簡(jiǎn)單n點(diǎn)形的邊，簡(jiǎn)單n點(diǎn)形與簡(jiǎn)單n線形是平面上互相對(duì)偶的圖形1。

基本介紹簡(jiǎn)單n線形指n條直線(其中無三線共點(diǎn))及其兩兩順次相交的交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，這n條直線稱為邊，n個(gè)交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)2。簡(jiǎn)單n點(diǎn)形是指n個(gè)點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)及其兩兩順次連線所構(gòu)成的圖形，這n個(gè)點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，n條直線稱為邊。

如果一個(gè)簡(jiǎn)單n點(diǎn)形的n個(gè)頂點(diǎn)都在一條二次曲線上，則稱這個(gè)簡(jiǎn)單n點(diǎn)形內(nèi)接于一條二次曲線。

我們將簡(jiǎn)單六點(diǎn)形簡(jiǎn)記為123456，而12，45；23，56；34，61稱為其三對(duì)對(duì)邊。

對(duì)于簡(jiǎn)單n點(diǎn)(線)形，表1和表2分別給出了n=3和n=4的情形，顯然，對(duì)于給定的n個(gè)點(diǎn)(或n條直線)，由它們所構(gòu)成的簡(jiǎn)單n點(diǎn)形(簡(jiǎn)單n線形)與這n個(gè)點(diǎn)(n條直線)的排序有關(guān)。此外，這兩類圖形與初等幾何中的多邊形也是不同的概念。

|| || 表 1 n=3，簡(jiǎn)單三點(diǎn)形和簡(jiǎn)單三線形

|| || 表 2 n=4，簡(jiǎn)單四點(diǎn)形和簡(jiǎn)單四線形

相關(guān)定理巴士卡(Pascal)定理對(duì)于任意一個(gè)內(nèi)接于非退化的二階曲線的簡(jiǎn)單六點(diǎn)形，它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在一條直線上(如圖1)。這條直線稱為該二階曲線的巴士卡線。

巴士卡定理的逆定理若簡(jiǎn)單六點(diǎn)形的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在一條直線上，則該簡(jiǎn)單六點(diǎn)形內(nèi)接于一條二階曲線。巴士卡定理是巴士卡(1623-1662)于1639年發(fā)現(xiàn)的，1806年布利安香(1785-1864)發(fā)現(xiàn)了其對(duì)偶定理。

布利安香(Brianchon)定理 對(duì)于任意一個(gè)外切于非退化的二級(jí)曲線的簡(jiǎn)單六線形，它的三對(duì)對(duì)頂點(diǎn)的連線過一個(gè)點(diǎn)(如圖2)。這個(gè)點(diǎn)稱為該二級(jí)曲線的布利安香點(diǎn)。

布利安香(Brianchon)定理的逆定理也成立3。

巴士卡定理的極限形式所謂極限形式，是指簡(jiǎn)單六點(diǎn)形有某些相鄰頂點(diǎn)重合，內(nèi)接簡(jiǎn)單六點(diǎn)形實(shí)際上成為簡(jiǎn)單五點(diǎn)形，四點(diǎn)形，三點(diǎn)形。此時(shí)，連結(jié)重合的相鄰頂點(diǎn)的邊成為切線，將切線作為邊，套用巴士卡定理即可。

1.一對(duì)相鄰頂點(diǎn)重合，五點(diǎn)形情形

定理1 內(nèi)接于非退化二階曲線的簡(jiǎn)單五點(diǎn)形某點(diǎn)處的切線與其對(duì)邊的交點(diǎn)必在其余兩對(duì)不相鄰邊的交點(diǎn)連線上(如圖3)。

2.兩對(duì)相鄰頂點(diǎn)重合，四點(diǎn)形情形

將四點(diǎn)形的一對(duì)對(duì)頂點(diǎn)視為重合頂點(diǎn)時(shí)，有

定理2內(nèi)接于一條非退化的二階曲線的簡(jiǎn)單四點(diǎn)形兩對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)及其對(duì)頂點(diǎn)的切線的交點(diǎn)必共線(如圖4)。

將四點(diǎn)形的一對(duì)相鄰頂點(diǎn)視為重合頂點(diǎn)時(shí)，有

定理3內(nèi)接于一條非退化二階曲線的簡(jiǎn)單四點(diǎn)形，一對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)與其對(duì)頂點(diǎn)的切線的交點(diǎn)，三點(diǎn)共線(如圖4)。

3.三對(duì)相鄰頂點(diǎn)重合,三點(diǎn)形情形

定理4 內(nèi)接于一條非退化的二階曲線的三點(diǎn)形，其每一頂點(diǎn)的切線與對(duì)邊的交點(diǎn)，三點(diǎn)共線(如圖5)。

當(dāng)二階曲線退化時(shí)，巴士卡定理在一定情形下也成立。

例如，二階曲線退化成兩條直線，若六個(gè)點(diǎn)分為兩組，設(shè)三點(diǎn)1、3、5在一條直線上，而另有三點(diǎn)2、4、6在另一條直線上，則三個(gè)交點(diǎn)L=12×45、M=23×56、N=34×61也在一條直線上(如圖6)。本結(jié)論正是巴卜斯定理3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所