[科普中國(guó)]-完全n線(xiàn)形

完全n線(xiàn)形(complete n-side)是一種簡(jiǎn)單的平面圖形，是由平面上的n條直線(xiàn)(n≥3，其中無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn))及它們每?jī)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)所組成的平面圖形。這n條直線(xiàn)稱(chēng)為完全n線(xiàn)形的邊，n(n-1)/2個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為完全n線(xiàn)形的頂點(diǎn)，完全n線(xiàn)形的對(duì)偶圖形是完全n點(diǎn)形1。

基本介紹完全n點(diǎn)形指n個(gè)點(diǎn)(其中無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn))及其每二點(diǎn)連線(xiàn)所構(gòu)成的圖形，不難看出，完全n點(diǎn)形共有n個(gè)頂點(diǎn)，條邊2。

完全n線(xiàn)形指n條直線(xiàn)(其中無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn))及其每二條直線(xiàn)的交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。不難看出，完全n線(xiàn)形共有n條邊，個(gè)頂點(diǎn)。

舉例說(shuō)明完全形與初等幾何中的n邊形沒(méi)有任何共同之處，對(duì)于給定的n個(gè)點(diǎn)(其中無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn))或n條線(xiàn)(其中無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn))，由其決定的完全n點(diǎn)形或完全n線(xiàn)形是惟一的2。

最常見(jiàn)的例子是n=3，三點(diǎn)形與三線(xiàn)形(如表1)，這是一對(duì)自對(duì)偶圖形。

|| || 表1 三點(diǎn)形和三線(xiàn)形

最重要的例子是完全四點(diǎn)形與完全四線(xiàn)形，因?yàn)檫@一對(duì)圖形中蘊(yùn)含著十分重要的射影性質(zhì)，其應(yīng)用將在今后無(wú)可避免地反復(fù)出現(xiàn)，一定要熟練地掌握這一對(duì)對(duì)偶圖形2。

|| || 表2 完全四點(diǎn)形和完全四線(xiàn)形

|| || 表3

完全四點(diǎn)形和完全四線(xiàn)形的調(diào)和性質(zhì)由完全n點(diǎn)形和完全n線(xiàn)形定義可得完全四點(diǎn)形和完全四線(xiàn)形圖形如下3；

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我們且規(guī)定以下名稱(chēng)：

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完全四點(diǎn)形和完全四線(xiàn)形有以下調(diào)和性質(zhì)：

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（關(guān)于定理的證明請(qǐng)參考相關(guān)文獻(xiàn)3）

且有以下推論：

推論1 在完全四點(diǎn)形中，對(duì)角三點(diǎn)形的每條邊上均有一組調(diào)和共軛點(diǎn)：兩對(duì)角點(diǎn)及該邊與過(guò)第三個(gè)對(duì)角點(diǎn)的一對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)。如(P，Q；M，N )=-1， (Q，E；L，K)=-1，(P，E；F，R)=-1。

推論2 在完全四點(diǎn)形的每條邊上，均有一組調(diào)和共軛點(diǎn)：兩頂點(diǎn)及該邊與對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)。如

(A，B；P，L)=-1，(B，C；Q，R)=-1，(C，D；K，P)=-1，(D，A；F，Q)=-1，(A，C；M，E)=-1，( B，D；N，E)=-1。

當(dāng)然，對(duì)于完全四線(xiàn)形有這兩個(gè)推論的對(duì)偶命題3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所