[科普中國(guó)]-翻折法作圖

翻折法作圖(construction by reflection)是解作圖題的一種常用方法，一些作圖題可以通過固定圖形中適當(dāng)?shù)囊粭l直線或一點(diǎn)，將圖形翻折，利用圖形的對(duì)稱性使某些幾何元素移位，以尋求到作圖的途徑和方法，從而作出所求圖形。

基本介紹翻折法作圖（construction by reflection）也稱對(duì)稱法作圖，就是利用初中幾何課中學(xué)到的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的知識(shí)去解幾何題目，常收巧妙、簡(jiǎn)捷、明快之效，我們把這種方法稱之為翻折法或?qū)ΨQ法。具體的說，就是：假設(shè)圖形已經(jīng)作出，如將某定點(diǎn)或定線段以一已知直線(或線段)為對(duì)稱軸，而得出它的對(duì)稱點(diǎn)或線段。仍可具有原來的點(diǎn)或線毆所應(yīng)滿足的某些條件。這樣：往往可將原問題化為比較簡(jiǎn)易的問題。

例如，已知直線XY同側(cè)的兩點(diǎn)A，B，在直線XY上求作一點(diǎn)P，使PA+PB為最短(如圖).簡(jiǎn)要分析如下：

若將點(diǎn)A從直線XY所劃分的上半平面翻折到下半平面的點(diǎn)A′，則斜線(或垂線)AP，AP1，AP2，AP3，…的長(zhǎng)分別與對(duì)應(yīng)斜線(或垂線)A′P，A′P1，A′P2，A′P3，…的長(zhǎng)相等，因此折線APB，AP1B，AP2B，AP3B，…之長(zhǎng)分別與對(duì)應(yīng)折線(或線段)A′PB，A′P1B，A′P2B，A′P3B，…之長(zhǎng)相等.于是使PA+PB最短的問題便化為使PA′+PB最短的問題.根據(jù)兩點(diǎn)之線段比兩點(diǎn)間折線短的原理知，線段A′B與直線XY的交點(diǎn)便是所求的點(diǎn).

本題恒有解，包括直線AB與XY互相垂直的情形在內(nèi)，那時(shí)AB的垂足即所求的點(diǎn)。1

舉例分析用中心對(duì)稱法解題把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，便得到這個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，因此中心對(duì)稱法實(shí)際是一種旋轉(zhuǎn)法(轉(zhuǎn)180°)， 以下只舉一個(gè)例子2。

例****1 如圖，△ABC中，邊BC上的兩點(diǎn)E，F(xiàn)把BC三等分，BM是AC邊上的中線，AE、AF分BM為x、y、z三部分，求x：y：z。

解:以M為中心，作△ABC的中心對(duì)稱圖形△CB'A，則E、E'和F、F'都是關(guān)于點(diǎn)M為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)。

∴E'C//AE，F(xiàn)'C// AF，

由此可得 ， ①

②

由①得x-y=z， ③

②+③，得，，

②-③，得

∴.

用軸對(duì)稱法解題有些書籍只將軸對(duì)稱法又稱翻折法，當(dāng)幾何問題條件不太集中，已知求證之間聯(lián)系不大時(shí)，有時(shí)用翻折法可把條件相對(duì)集中，容易發(fā)現(xiàn)新的解題途徑，下面按不同的對(duì)稱軸介紹幾種常見的翻折類型2。

1.以角平分線為軸

例2 已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于E。

求證：BD= 2CE，證明：以角平分線BE為軸，作△BCE的軸對(duì)稱圖形△BFE，則C. E，F(xiàn)共線，且CE=EF，即CF= 2CE。

∵∠1=22.5°，

而∠ACF=90°-∠2-∠ACB=90°-22.5°-45°=22.5°，

又AB= AC，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF=2CE。

2.以高線為軸

例3已知銳角△ABC，AH是BC邊上的高，若AB+ BH= HC，求證:∠B=2∠C2。

證明:如圖，以A為軸，作△ABH的對(duì)稱圖形△AB'H，則AB'= AB，HB' =BH，

∵AB+BH =HC，

∴AB'+ HB'=HC，

∴AB'= B'C，

∴∠C=∠B'AC，

而∠B=∠AB'B=∠B'AC+∠C，

∴∠B=2∠C.

3. 以直徑為軸

例4如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于P，∠CPB=45°，⊙O的半徑為1，求證: PC2+ PD2=22。

證明：以AB為軸，作PD的對(duì)稱圖形PD'，連結(jié)DD'，OD'、OC、CD'，則有

PD= PD'，∠CDD'=45°，∠D'PC = 2∠CDD'= 90°，

∴∠COD'= 2∠CDD'= 90°，

∴PC2+ PD2=PC2+ PD'2= CD'2= OC2+OD'2=2.

4. 折線問題

常用來解決折線的最小值問題，下面舉一個(gè)和折線角度相關(guān)的問題2。

例5 已知直線AB的同側(cè)有兩點(diǎn)P、Q (且PQ不垂直于AB)，在AB上確定一點(diǎn)C，使∠PCA=2∠QCB。

作法:如圖，以AB為軸作點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)Q'，以Q'圓心，為半徑作⊙O'，過P作⊙O'的切線PD與AB交于C，則點(diǎn)C就是要 'Q'求的點(diǎn)。

證明:∵∠PCA=

∠BCD, CE是⊙O'的切線，

∴∠ ECQ'=∠DCQ'，

又∵∠QCE=∠Q'CE，

∴∠PCA=2∠Q'CE= 2∠QCB2.

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級(jí)工程師 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所