[科普中國]-位似法作圖

利用位似變換的性質(zhì)解作圖題的方法，叫做位似法，位似法作圖，常先舍棄圖形的大小、位置條件（或部分位置條件），作出滿足形狀要求的圖形F'，然后選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行暮臀凰票龋鞒龇洗笮∫螅ɑ蛭恢靡螅?，并與F'位似的圖形F1。

基本介紹位似法作圖(construction with homothetic method)是一種常用的作圖方法，利用位似變換的方法作圖。要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其相似的圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出所要求作的圖形。例如，要求作銳角三角形ABC的內(nèi)接正方形DEFG，先放棄一個(gè)頂點(diǎn)F在邊AC上的條件，作出與正方形DEFG位似的正方形D′E′F′G′(如圖1)，然后利用位似變換將正方形D′E′F′G′放大，以滿足全部條件，從而求得所要作的正方形DEFG2。

例題解析【例1】在已知半圓內(nèi)求作內(nèi)接矩形，使矩形的一邊在半圓直徑上，并且相鄰邊之比等于定比1。

已知 以AB為直徑的半圓O，線段m,n。

求作 矩形EFGH，使EF在AB上，點(diǎn)G，H在圓弧上，并且

分析 因?yàn)椤熬匦梧忂呏葹槎ū萴:n”這一條件決定了矩形的形狀，而內(nèi)接于半圓的位置條件決定了矩形的大小，于是先作出符合形狀要求的矩形E'F'G'H'，然后以圓心O為位似中心，作出與E'F'G'H'位似的內(nèi)接于半圓的矩形。

作法 (1)以O(shè)為中點(diǎn)，在AB上作線段E'F'，使E'F'=m。

(2)以E'F’為一邊，作矩形E'F'G'H'，使F'G'=n(如圖2)。

(3)連OG'，OH'，設(shè)交半圓于點(diǎn)G，H。

(4)連GH，過點(diǎn)G，H作AB的垂線，垂足分別是F，E。

則EFGH為所求作的矩形。

證明 略。

討論 本題恒有一解.

【例2】已知三角形的兩內(nèi)角以及兩角夾邊與高的和，求作三角形。

已知 角a,β，線段l。

求作 △ABC，使∠A=a，∠B=β，高CD與AB的和為l。

分析 ∠A=a，∠B=β 是△ABC的形狀條件，CD+AB=l是決定△ABC大小的條件。

先作出符合形狀要求的圖形△CA?B?，使∠A?=α，∠B?=β，以點(diǎn)C為位似中心作△CA?B?的位似△ABC，下面決定位似比。

因?yàn)?/p>

所以

則

即

這樣，點(diǎn)B可確定，點(diǎn)A亦隨之可定。

作法 (1)作△A?B?C，使∠A?=α，∠B?=β，再作A?B邊上的高CD?(如圖3)。

(2)在射線CA?上取CK?=CD?+ A?B?，取CK=l。

(3)連K?B?，過點(diǎn)K作K?B?的平行線交CB?于點(diǎn)B。

(4)過點(diǎn)B作A?B?的平行線交CA?于點(diǎn)A。

則△ABC為所求1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)