[科普中國]-米奎爾定理

米奎爾定理(Miqule theorem)是關(guān)于米奎爾點(diǎn)的兩個定理：1.在△ABC的三邊BC，CA，AB所在直線上各任取一點(diǎn)X，Y，Z，則⊙AYZ，⊙BZX，⊙CXY三圓共點(diǎn)，交點(diǎn)Q稱為X，Y，Z對于△ABC的米奎爾點(diǎn)，米奎爾(A.Miqule)于1838年證明了此命題。2.五直線交成五個完全四邊形，它們的五個米奎爾點(diǎn)共圓1。

基本介紹三角形中的米奎爾定理(Miquel)定理和其推論在處理平面幾何中的有關(guān)問題，特別是有關(guān)競賽題時，常發(fā)揮重要作用。

定理(米奎爾定理) 設(shè)在一個三角形每邊所在直線上取一點(diǎn)，過三角形的每一個頂點(diǎn)與兩條鄰邊所在線上所取的點(diǎn)作圓，則這三個圓交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)稱為“米奎爾點(diǎn)”。

利用圓周角性質(zhì)易證此定理2。

米奎爾定理的推論當(dāng)上述三點(diǎn)共線時，可得如下推論。

推論1(完全四邊形的密克定理) 四條兩兩相交的直線形成四個三角形，它們的外接圓共點(diǎn)2。

推論2在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，設(shè)M為其米奎爾點(diǎn)，當(dāng)AD⊥BC，且M在直線AD上時，點(diǎn)E、F與△BDF，△DCE的外心O?、O?四點(diǎn)共圓的充分必要條件是M為△ABC的垂心。

推論2的證明 如圖1。

由∠MEC=180°-∠MDC=90°，知ME⊥AC，同理，MF⊥AB。

由AF·AB=AM·AD=AE·AC，知B、C、E、F四點(diǎn)共圓，又AD⊥BC，則O?、O?分別為BM、CM的中點(diǎn)，即有O?O? // BC，從而，∠MO?O?=∠MCB。

充分性 當(dāng)M為△ABC的垂心時，由九點(diǎn)圓定理即知O?、O?、E、F四點(diǎn)共圓。

必要性 當(dāng)O?、O?、E、F四點(diǎn)共圓時，有∠O?O?E+∠EFO?= 180°。

由B、C、E、F四點(diǎn)共圓有∠BFE+2∠BCE= 180°。

設(shè)R為△ABC的外接圓半徑，故

∠ABM=∠MCARt△BMF∽Rt△CMEMF/BF= ME/CE

推論3在完全四邊形ABCDEF中，設(shè)M為其米奎爾點(diǎn)，則

(1)當(dāng)A、B、D、F四點(diǎn)共圓于⊙O時，M在直線CE上，且OM⊥CE；

(2)當(dāng)B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓于⊙O時，M在直線AD上，且 OM⊥AD。

推論3的證明：

(1)如圖2，設(shè)△BCD的外接圓與CE交于點(diǎn)M'，聯(lián)結(jié)DM'。則∠DM'C=∠ABD=∠DFE，即知E、F、D、M'四點(diǎn)共圓。從而，M'為完全四邊形的密克點(diǎn)。故點(diǎn)M'與M重合。設(shè)⊙O的半徑為R，則CM·CE=CD·CF=CO2-R2。

同理，EM·EC= EO2-R2。

故CO2-EO2=EC(CM-EM)= (CM+ EM)(CM- EM)= CM2-EM2。

由定差冪線定理知OM⊥CE

(2)類似可證2。

應(yīng)用舉例【例1】在銳角△ABC中，AB