[科普中國(guó)]-矩陣完備化

矩陣完備化，又稱(chēng)矩陣填充（英文為Matrix completion）。其定義為：對(duì)于一個(gè)元素缺失的矩陣，通過(guò)對(duì)其有效位置的元素進(jìn)行采樣，進(jìn)而恢復(fù)出缺失的元素。

定義矩陣完備化，又稱(chēng)矩陣填充（英文為Matrix completion）。其定義為：對(duì)于一個(gè)元素缺失的矩陣，通過(guò)對(duì)其有效位置的元素進(jìn)行采樣，進(jìn)而恢復(fù)出缺失的元素。1

應(yīng)用矩陣完備化的應(yīng)用出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中的方方面面，如計(jì)算機(jī)視覺(jué)，推薦系統(tǒng)，社交網(wǎng)絡(luò)等。以推薦系統(tǒng)為例，對(duì)用戶行為的跟蹤及預(yù)測(cè)是目前各大網(wǎng)站所關(guān)注的主要目標(biāo)之一，如何根據(jù)已有的數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)用戶的行為進(jìn)行指導(dǎo)是推薦系統(tǒng)所要考慮的問(wèn)題。一個(gè)典型的例子是Netflix公司------世界上最大的在線影片租賃商，希望根據(jù)用戶的行為（對(duì)各類(lèi)電影的評(píng)級(jí)）來(lái)為他們推薦可能感興趣的電影。（如90%的男性喜愛(ài)動(dòng)作片，如果該用戶為男性，系統(tǒng)會(huì)為其推薦一部動(dòng)作片）。淘寶、人人、以及一些團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站現(xiàn)在都有推薦系統(tǒng)。

現(xiàn)在對(duì)于矩陣完備化應(yīng)用于推薦系統(tǒng)的研究正在如火如荼的研究當(dāng)中，如何有效地提高推薦系統(tǒng)的效率則是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。

相關(guān)矩陣研究的一大方向是將一般的矩陣用一些比較“簡(jiǎn)單”的矩陣來(lái)表示。這種表示方式稱(chēng)為矩陣的變換與分解。矩陣變換與分解的方法有很多，它們的目的都是希望化簡(jiǎn)后的矩陣保持原矩陣的某些性質(zhì)，比如行列式、秩或逆矩陣，而形式相對(duì)簡(jiǎn)單，因而能用容易地進(jìn)行討論和計(jì)算，或者能使得某些算法更易執(zhí)行。

LU分解將矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積。分解后的矩陣可以方便某些問(wèn)題的解決。例如解線性方程組時(shí)，如果將系數(shù)矩陣A分解成A=LU的形式，那么方程的求解可以分解為求解Ly=b和Ux=y兩步，而后兩個(gè)方程可以十分簡(jiǎn)潔地求解。又例如在求矩陣的行列式時(shí)，如果直接計(jì)算一個(gè)矩陣A的行列式，需要計(jì)算大約(n+ 1)!次加法和乘法；而如果先對(duì)矩陣做LU分解，再求行列式，就只需要大約n次加法和乘法，大大降低了計(jì)算次數(shù)。這是因?yàn)樽?strong>LU分解的復(fù)雜度大約是n次，而后注意到L和U是三角矩陣，所以求它們的行列式只需要將主對(duì)角線上元素相乘即可。

高斯消元法也是一種矩陣分解方法。通過(guò)初等變換操作，可以將任何矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣，而每個(gè)操作可以看做是將矩陣乘上一個(gè)特定的初等矩陣。奇異值分解則是另一種分解方法，將一個(gè)矩陣表示成3個(gè)矩陣的乘積：A=UDV。其中U和V是酉矩陣，D是對(duì)角矩陣。

特征分解是將一個(gè)矩陣A寫(xiě)成PDP的形式，其中P是一個(gè)可逆矩陣，D是對(duì)角矩陣。如果A的特征分解存在，就稱(chēng)它是可對(duì)角化的矩陣。不能對(duì)角化的矩陣，也有類(lèi)似的分解方式。任意的矩陣A都可以寫(xiě)成PJP的形式，其中的矩陣J是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王偉 - 副教授 - 上海交通大學(xué)