[科普中國]-封閉折線

封閉折線是一種幾何圖形，指一種特殊的折線。同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的幾條線段順次首尾相接所組成的圖形叫作折線，如果一條折線的首尾兩個端點重合，這條折線叫作封閉折線1。

基本概念不全在同一直線上的幾條線段順次首尾相接組成的圖形叫做折線(如圖1，圖2)。各線段稱為折線的邊或折線的節(jié)；折線各邊長之和稱為折線的長；各線段的端點稱為折線的頂點；相鄰兩個頂點稱為鄰頂點；不是兩條線段公共端點的兩個頂點都稱為折線的端點；兩端點重合(實際上即無端點)的折線稱為封閉折線(圖2)。組成折線的所有線段都在同一平面內(nèi)的折線稱為平面折線，否則稱為空間折線。凡不相鄰的兩邊不相交的折線稱為簡單折線，把一條平面簡單折線的任一條邊向兩方延長成直線，如果能使這條折線的其他各邊都在這條直線的同側(cè)，那么這條平面折線稱為凸折線，連結(jié)非封閉折線的兩個端點的線段稱為折線的鎖線2。

封閉折線的基本性質(zhì)平面上一些線段順次首尾相接構(gòu)成的圖形，稱為平面折線。下面約定，任何端點不在另外的線段上，構(gòu)成折線的線段稱為邊，線段的端點稱為頂點，共邊兩頂點稱為相鄰頂點，如果折線每條邊都有兩條鄰邊，就稱為封閉折線，否則，稱為開折線3。

定理1 n邊封閉折線有n個頂點；n邊開折線有n+1個頂點。

邊不相交的折線稱為簡單折線，簡單封閉折線稱為多邊形，多邊形將平面分為兩部分，其中有限部分稱為多邊形的內(nèi)部，不難證明有:

定理2 n邊形內(nèi)部可用不相交的對角線劃分為n-2個三角形。

定理3 n邊形內(nèi)角和等于(n-2)π。

沿折線一條邊經(jīng)頂點A走向鄰邊，如向左(右)拐，A就叫作邊AB的左(右)折點(圖3(a))，稱一端為左折點，另一端為右折點的邊(圖3(b))為單折邊，兩端均為左或右折點的邊(圖1(c))為雙折邊，且前者為左旋邊而后者為右旋邊，易見，封閉折線的每個頂點，分別為兩鄰邊的左折點和右折點，封閉折線有如下特征性質(zhì)，

定理4封閉折線如果有雙折邊,則雙折邊成對、左右旋邊各半且相間排列。

定理5 多邊形P為凸的充要條件是P的所有邊均為單折邊。

定理6 若封閉折線有雙折邊，則頂角和不定。

定理7 m階n邊星形頂角和θ(n，m) = (m+1)π3。

下面t環(huán)單折邊封閉折線特征是：當(dāng)沿著它的邊界運動一周時，必繞某一中心旋轉(zhuǎn)t圈，如下圖中的折線分別1,2,3環(huán)。

定理8 n邊t環(huán)封閉折線項角和為σ(n，t) = (n-2t)π。其中，n = 3，4，5，...；t = 1，2，3，...3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所