[科普中國(guó)]-三元三次不定方程

三元三次不定方程(ternary cubic indeterminate equation)是幾個(gè)著名的三元三次不定方程。不定方程中比較成熟的方法是處理兩個(gè)變?cè)牟欢ǚ匠?，三個(gè)變?cè)陨系母叽尾欢ǚ匠蹋３Ｊ呛芾щy的。例如，關(guān)于三元三次不定方程x3+y3+z3=xyz無(wú)xyz≠0的整數(shù)解，曾經(jīng)很長(zhǎng)時(shí)間使數(shù)學(xué)家們束手無(wú)策，直到20世紀(jì)60年代，柯召(1960年)和卡塞爾斯(J.W.S.Cassels)(1962年)才分別獨(dú)立地證明了這個(gè)問題，同時(shí)解決了謝爾品斯基(W.Sierpiski)認(rèn)為是很難的一個(gè)猜想：不存在三個(gè)有理數(shù)，它們的和與積都能等于1，亦即不定方程x+y+z=xyz=1不存在有理數(shù)解1。

基本介紹設(shè)f(x，y，z)是一個(gè)整系數(shù)三元三次多項(xiàng)式，方程

稱為三元三次不定方程，對(duì)方程(1)的解，迄今人們所知甚少。某些結(jié)果僅僅給出(1)的一些特殊情況的部分整數(shù)解，而不是全部解2。

相關(guān)結(jié)論及證明在三元三次不定方程中，最簡(jiǎn)單而且又是最重要的方程為

其中n為整數(shù)，對(duì)某些n，方程(2)有無(wú)窮多組整數(shù)解，而對(duì)另一些n，方程(2)亦可能無(wú)整數(shù)解1。例如：

1.當(dāng)n=a3時(shí)，方程(2)有無(wú)數(shù)多組整數(shù)解，其解可表示為(x，y，z)=(t，-t，a)或

(9at4，3at-9at4，a-9at3)，t∈Z.

2.當(dāng)n=2a3時(shí)，方程(2)也有無(wú)數(shù)多組整數(shù)解，可表示為

(x，y，z)=(a(1+6t3)，a(1-6t3)，-6at2).

3.當(dāng)n≡±4(mod 9)時(shí)，方程(2)無(wú)解。這是因?yàn)?/p>

所以，即(2)沒有解。

對(duì)于方程(2)，還有一些迄今尚未解決的問題。例如，已知當(dāng)n=3時(shí)，方程(2)有4個(gè)整數(shù)解為(x，y，z)=(1，1，1)，(4，4，-5)，(4，-5，4)，(-5，4，4)，尚不知道是否還有其他解。又如當(dāng)n=30時(shí)，方程(2)是否有解亦不知道2。

討論(1)的一個(gè)簡(jiǎn)單情形，不定方程

當(dāng)a=b=1，c=-1時(shí)，(3)有無(wú)窮多個(gè)解。而且證明很容易，只需令x=1+ω，y=1-ω，代入z2=x3+y3-1得

方程(3)是熟知的Pell方程，有無(wú)窮多組整數(shù)解z，ω，因而a=b=1，c=-1時(shí)，(3)有無(wú)窮多組解。

另外，對(duì)三元三次不定方程ax3+ay3+bz3=bc3，abc≠0，已知在平凡解x+y=0，z=c外，還有無(wú)窮多組整數(shù)解1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級(jí)工程師 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所