[科普中國]-n次單位根

n次單位根(n-th unit root)是一種重要的n次方根，數(shù)1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的n次方根，稱為n次單位根，簡稱單位根。由此可知，所謂n次單位根，也就是多項(xiàng)式xn－1或方程xn－1=0在復(fù)數(shù)域內(nèi)的根1。

基本介紹在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，1的n(n∈N)個(gè)不同的n次方根都稱為n次單位根，簡稱單位根。它們是

或

n次單位根是方程ωn-1=0的n個(gè)不同的根，除ω0=1外，其余n-1個(gè)也是n-1次方程ωn-1+ωn-2+…+ω+1=0的n-1個(gè)不同根2。

n次單位根的性質(zhì)n次單位根有下列性質(zhì)2：

1.對于任何m∈Z

或都是n次單位根，即，但不同的單位根只有n個(gè)。例如取m=0，1，2，…，n-1時(shí)，就得到n個(gè)不同的n次單位根。當(dāng)整數(shù)m=qn+k(q∈Z+，k∈{0，1，2，…，n-1})時(shí)，ωm=ωqn+k=ωk。

2.n次單位根的模為1，即|ωm|=1。

3.兩個(gè)n次單位根ωi，ωj的乘積仍是一個(gè)n次單位根，且ωi·ωj=ωi+j(i，j為任意整數(shù))。由此可得：

1) (ωi)-1=ω-i。

2) (ωk)m=ωmk(m，k為任意整數(shù)，當(dāng)m=0時(shí)，(ωk)0=1=ω0)。

3) ωk=ωl的充分必要條件是k與l除以n后余數(shù)相同，即k與l的差是n的倍數(shù)。

4) 任何一個(gè)單位根都可以寫成ω1的冪，如ωk=(ω1)k，有這種性質(zhì)的n次單位根ω1稱為n次本原單位根，簡稱n次原根或原根，當(dāng)p與n互素且1≤p