[科普中國]-有理整式

有理整式(rational integral expression)亦稱整式，是一種基本的有理式，對變數(shù)字母與數(shù)僅限于有限次加、減、乘、乘方運(yùn)算的代數(shù)式，即除式不含變數(shù)字母的有理式稱為有理整式，整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，可以認(rèn)為有理整式即是多項(xiàng)式，單項(xiàng)式是多項(xiàng)式的特例，每個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式，或是若干個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和，這些單項(xiàng)式的次數(shù)的最大值稱為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，單獨(dú)一個(gè)非零常數(shù)稱為零次多項(xiàng)式，數(shù)零稱為零多項(xiàng)式，多項(xiàng)式可看做以其所含變數(shù)字母(元)為自變量的函數(shù)，這時(shí)常按多項(xiàng)式的次數(shù)稱為一次函數(shù)，二次函數(shù)等。多項(xiàng)式又可以其所含變數(shù)字母作為未知數(shù)討論此多項(xiàng)式何時(shí)取零值而成為方程，因而又有一次方程、二次方程等1。

基本介紹有理整式是一種代數(shù)式(函數(shù))，其中未知數(shù)不出現(xiàn)在根號或分母中，即不含根號的整式。它既是整式，又是有理式；它包括單項(xiàng)式與多項(xiàng)式。

一個(gè)代數(shù)式，可以關(guān)于其中一些未知數(shù)為有理整式，而對另一些未知數(shù)則不是。例如，

它關(guān)于x、關(guān)于w、或者關(guān)于x與w是有理整式，但關(guān)于y不是有理式，而關(guān)于z不是整式。

有理整式習(xí)慣上簡稱為整式，它可以由未知數(shù)經(jīng)有限次加、減、乘(包括乘方)得到2。

單項(xiàng)式單項(xiàng)式是一種簡單的代數(shù)式.對變數(shù)字母僅限于乘法(乘方)運(yùn)算或沒有變數(shù)字母的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式。例如ab，(m+n)x(m，n是常數(shù))，x都是單項(xiàng)式。其中(m+n)x，雖然m+n是加法運(yùn)算，但m，n是常數(shù)，對變數(shù)x仍僅限于乘法運(yùn)算，因而它是單項(xiàng)式。在單項(xiàng)式中，數(shù)因子或數(shù)與非變數(shù)字母所構(gòu)成的因子稱為這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，為明確起見，一般把一個(gè)單項(xiàng)式稱為關(guān)于變數(shù)字母的單項(xiàng)式，若一個(gè)給定單項(xiàng)式?jīng)]有指明是關(guān)于哪些字母的單項(xiàng)式，則認(rèn)為式中出現(xiàn)的所有字母都是變數(shù)字母，變數(shù)字母稱為單項(xiàng)式的元，當(dāng)系數(shù)不為零時(shí)，單項(xiàng)式中任一元的次數(shù)稱為單項(xiàng)式關(guān)于這個(gè)元的次數(shù)，單項(xiàng)式中所有元的次數(shù)的和稱為這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，例如，關(guān)于x，y的單項(xiàng)式2ax2y3(a≠0)的次數(shù)為5，單獨(dú)一個(gè)非零常數(shù)稱為零次單項(xiàng)式.數(shù)0也看做單項(xiàng)式，稱為零單項(xiàng)式。當(dāng)單項(xiàng)式的系數(shù)是在指定數(shù)系P(如整數(shù)系，實(shí)數(shù)系等)取值時(shí)，這樣的單項(xiàng)式稱為數(shù)系P上的單項(xiàng)式1。

多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式。多項(xiàng)式有時(shí)稱為有理整式或整式3。

在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。如是四項(xiàng)式，它的第二項(xiàng)是-b，第四項(xiàng)是。

注意：多項(xiàng)式中各項(xiàng)要帶它的符號。

多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

多項(xiàng)式里不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

一個(gè)多項(xiàng)式的全稱是幾次幾項(xiàng)式。如上例是三次四項(xiàng)式。

按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序來排列的多項(xiàng)式叫做按這個(gè)字母的降冪排列；按某個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序來排列的多項(xiàng)式叫做按這個(gè)字母的升冪排列。

例 把3x2y-y4+5xy2-x3按x的降冪排列是-x3+3x2y+5xy2-y4。

例 把a(bǔ)3+2ba2+b2+c2-ba+2a2c+2ac按a的升冪排列。

解 原式= (b2+c2)-(b-2c)a+2(b+c)a2+a3

說明：不含某一字母的項(xiàng)，相當(dāng)于常數(shù)項(xiàng)，按同一字母的次數(shù)整理它的文字系數(shù)，再進(jìn)行排列3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)