[科普中國(guó)]-同解變形

同解變形（equivalent transformation）是解方程(組)所涉及的一個(gè)概念，用一個(gè)方程(組)的同解方程(組)代替這個(gè)方程(組)，這種代換稱(chēng)為原方程(組)的同解變形。通常，在解方程(組)的過(guò)程中，主要是不斷進(jìn)行同解變形；如果出現(xiàn)了非同解變形，則應(yīng)對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行討論或驗(yàn)根，找出遺解舍棄增解，關(guān)于不等式(組)的同解變形，意義和方程同解變形類(lèi)似。

基本介紹對(duì)于一個(gè)方程，進(jìn)行某種變形后，得到與原方程同解的一個(gè)新的方程，這種變形叫做同解變形。

通常，在解方程的過(guò)程中，主要是不斷進(jìn)行同解變形；如果出現(xiàn)了非同解變形，則應(yīng)對(duì)得出的結(jié)果補(bǔ)充討論或驗(yàn)根。關(guān)于方程組、不等式、不等式組，同解變形的意義和上述相仿。

對(duì)于一個(gè)方程(或不等式)，指出在保持同解性前提下，所允許進(jìn)行的一些變形，這些結(jié)論統(tǒng)稱(chēng)同解定理。

方程的同解變形使方程變?yōu)樗耐夥匠痰倪^(guò)程叫做同解變形。關(guān)于方程的同解變形，主要有下面的三個(gè)定理1。

定理1在方程的兩邊都加上同一個(gè)整式(單獨(dú)的一個(gè)數(shù)也是整式)，所得方程與原方程同解。

用此定理時(shí)一定要注意加上的解析式是整式的條件，否則所得方程不一定與原方程同解。例如，方程2x-1=3的兩邊都加上分式4/(x-2)所得方程2x-1+4/(x-2)=3+4/(x-2)與原方程并不同解。因?yàn)樵匠痰慕鈞=2使新方程的分母為零，方程無(wú)意義。

由定理1易得到移項(xiàng)法則：方程中的項(xiàng)改變符號(hào)后可以從方程的一邊移至另一邊。

定理2方程的兩邊都乘以同一個(gè)對(duì)方程的未知數(shù)的一切允許值都有意義且值不為零的解析式，所得方程與原方程同解。

顯然，方程兩邊都乘以同一個(gè)非零的數(shù)也符合定理?xiàng)l件。

用此定理時(shí)，必須注意所乘解析式對(duì)原方程中未知數(shù)的一切允許值都有意義且值不為零的兩個(gè)條件.例如，把方程x2-4=3x的兩邊都乘以解析式1/(x-4)所得方程(x2-4)/(x-4)=3x/(x-4)與原方程并不同解，原因是所乘解析式并不是對(duì)原方程未知數(shù)的所有允許值都有意義.當(dāng)x=4時(shí)，1/(x-4)無(wú)意義，而x=4是原方程的一個(gè)解.又如，方程(x2+1)(2x-3)=(x2+1)(x-1)可以認(rèn)為是由方程2x-3=x-1的兩邊都乘以解析式x2+1所得.這兩個(gè)方程在實(shí)數(shù)集里同解，在復(fù)數(shù)集內(nèi)不同解.原因是在實(shí)數(shù)集內(nèi)x2+1≠0，在復(fù)數(shù)集里x2+1的值有為零的時(shí)候，使x2+1=0的x值是方程(x2+1)(2x-3)=(x2+1)(x-1)的解而不是原方程2x-3=x-1的解，這就產(chǎn)生了增根。

定理3若方程的一端為零，另一端是幾個(gè)因式的乘積，則使各個(gè)因式分別等于零而得到的幾個(gè)方程與原方程同解。

本定理是用因式分解的方法解方程的理論依據(jù)。

例如，要解方程x3-3x2-x+3=0，可將方程左端分解因式，得到方程

(x+1)(x-1)(x-3)=0

據(jù)定理3，只要解下面三個(gè)方程

x+1=0，x-1=0，x-3=0

得到原方程的解為：

x1=-1，x2=1，x3=3.

在解方程時(shí)，若進(jìn)行的變形都符合上面的三條定理，則保證是同解變形，所得方程之解皆為原方程之解，且不會(huì)失根，故不必進(jìn)行檢驗(yàn)1。

方程組的同解變形方程組的同解定理有：

1.方程組里的任一方程用它的一個(gè)同解方程去代替，所得的方程組和原方程組同解。

2.方程組里的某一方程如是其中一個(gè)未知數(shù)用另一些未知數(shù)來(lái)表示的等式。那么，在這方程組里的另一些方程中，凡出現(xiàn)該未知數(shù)時(shí)都用這個(gè)表達(dá)式去代替，所得的方程組和原方程組同解。

3.方程組里的一些方程的兩邊分別相加(減)，所得到的方程去代替參加運(yùn)算的任一方程，所得的方程組和原方程組同解。

4.方程組里的某一方程如是一邊為若干個(gè)因式的乘積，另一邊為零的形式，令這些因式分別為零而得到若干個(gè)方程，將這些方程逐一和原方程組中的其余方程組成新的方程組，那么原方程組的解即是這些新的方程組的解的全體2。

不等式的同解變形不等式的同解定理有：

1.不等式f(x)>g(x)和不等式g(x)g(x)和不等式f(x)+h(x)>g(x)+h(x)同解。

3.如果h (x)對(duì)未知數(shù)的一切可能值恒取正值，則不等式f(x)>g(x)和f(x)·h(x)>g(x)·h(x)同解;不等式f(x)>g(x)和同解。

4.如果h(x)對(duì)未知數(shù)的一切可能值恒取負(fù)值，則不等式f(x)>g(x)和f(x)·h(x)g(x)和同解2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

武偉 - 高級(jí)工程師 - 天津直升機(jī)有限責(zé)任公司