[科普中國]-超越式

超越式是非代數(shù)式的解析式，指不能對變數(shù)字母和數(shù)用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的解析式。它包括無理數(shù)指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式、雙曲函數(shù)式、冪指函數(shù)式等。

定義初等數(shù)學運算分為初等代數(shù)運算和初等超越運算。一類是初等代數(shù)運算，包括加、減、乘、除、正整數(shù)次乘方、開方、有理數(shù)次乘方；另一類是初等超越運算，初等超越運算，包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角等運算。根據(jù)運算不同，解析式分為兩大類。

對字母只進行初等代數(shù)運算的解析式稱為代數(shù)式，如2x2-3xy+y2等都是代數(shù)式。

對字母進行了有限次初等超越運算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式，如：ln2x、sin(lgx+x)等，都是超越式。

超越方程超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項式或開方表示的函數(shù)，與超越方程相對的是代數(shù)方程。超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進行。大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解。

當一元方程?(z)=0的左端函數(shù)?(z)不是z的多項式時，稱之為超越方程。如指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方程等。

具有未知量的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等的方程。例如2x=x+1，sin x+x=0。

超越數(shù)超越數(shù)的存在是由法國數(shù)學家劉維爾（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早證明的。關于超越數(shù)的存在，劉維爾寫出了下面這樣一個無限小數(shù)：a=0.110001000000000000000001000…（a=1/101!+1/102!+1/103!+…），并且證明取這個a不可能滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程，由此證明了它不是一個代數(shù)數(shù)，而是一個超越數(shù)。后來人們?yōu)榱思o念他首次證明了超越數(shù)，所以把數(shù)a稱為劉維爾數(shù)。1

本詞條內容貢獻者為:

杜強 - 高級工程師 - 中國科學院工程熱物理研究所