[科普中國(guó)]-MV-代數(shù)

在純數(shù)學(xué)分支抽象代數(shù)中，MV-代數(shù)（多值代數(shù)）1是帶有二元運(yùn)算 、一元運(yùn)算和常量的滿(mǎn)足特定公理的代數(shù)結(jié)構(gòu)。多值邏輯是 MV-代數(shù)的模型。2

定義設(shè) A 是個(gè)集合，MV-代數(shù)是代數(shù)結(jié)構(gòu)，帶有型的標(biāo)識(shí)(signature) ，它滿(mǎn)足如下恒等式：

1、

2、

3、

4、

5、

6、

備注：通過(guò)前三個(gè)公理是交換幺半群。

或者作為替代，MV-代數(shù)是一個(gè)剩余格滿(mǎn)足額外恒等式：

Hájek (1998)描述了這兩個(gè)公式的等同。

例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是，帶有定義為和的運(yùn)算。

討論在多值邏輯中，給定一個(gè) MV-代數(shù) A，一個(gè) A-賦值就是從命題演算中公式的集合到 MV-代數(shù)的函數(shù)。如果對(duì)于所有 A-賦值這個(gè)函數(shù)把一個(gè)公式映射到 1（或 ），則這個(gè)公式是一個(gè) A-重言式。因此對(duì)于無(wú)窮值邏輯（比如模糊邏輯、武卡謝維奇邏輯），我們?cè)O(shè) [0,1] 是 A 的下層集合來(lái)獲得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式（經(jīng)常就叫做賦值和重言式）。3

Chang 發(fā)明 MV-代數(shù)來(lái)研究波蘭數(shù)學(xué)家揚(yáng)·武卡謝維奇（Jan ?ukasiewicz）在 1920 年介入的多值邏輯。Chang 的完備定理(1958, 1959) 聲稱(chēng)任何在 [0,1] 區(qū)間成立的 MV-代數(shù)等式也在所有 MV-代數(shù)中成立。通過(guò)這個(gè)定理，證明了無(wú)窮值的武卡謝維奇邏輯可以被 MV-代數(shù)所刻畫(huà)。后來(lái)同樣適用于模糊邏輯。這類(lèi)似于在 {0,1} 成立的布爾代數(shù)等式在任何布爾代數(shù)中也成立，布爾代數(shù)因此刻畫(huà)了標(biāo)準(zhǔn)二值邏輯。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)