[科普中國]-G-函數(shù)

在特殊函數(shù)中，Meijer G-函數(shù)是廣義超幾何函數(shù)的推廣，絕大多數(shù)的特殊函數(shù)都可以用 Meijer G-函數(shù)表示出來。

定義

其中積分路徑C視參數(shù)p,q的相對(duì)大小而定。上面的積分表達(dá)式具有Mellin 逆變換的形式。

Meijer-G函數(shù)是上面積分表達(dá)式的一個(gè)推廣，它的定義為：

其中積分路徑C視參數(shù)的相對(duì)大小而定。但是，為了保證至少一條積分路徑有定義，要求

在書寫 Meijer-G函數(shù)時(shí)要注意，上標(biāo)中的第一個(gè)參數(shù)和下標(biāo)中的第二個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的是bk，而上標(biāo)中的第二個(gè)參數(shù)和下標(biāo)中的第一個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的是ak。1

對(duì)比上述兩式可以得到廣義超幾何函數(shù)和 Meijer-G函數(shù)的關(guān)系：

基本性質(zhì)和廣義超幾何函數(shù)一樣，如果上下兩個(gè)向量組在合適的位置有相同的元素，則 Meijer-G函數(shù)可以降階，此處不再贅述。

一般關(guān)系式Meijer-G函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)具有下列性質(zhì)：

注意h可以取任意整數(shù)值，取負(fù)數(shù)時(shí)表示不定積分。

另一方面，

上面的式子都可以直接由定義得到。

向量組中兩個(gè)元素相差整數(shù)時(shí)的關(guān)系式由

又有

微分方程由上面一般關(guān)系式一節(jié)的討論知 Meijer-G函數(shù)滿足下列微分方程，它與廣義超幾何函數(shù)滿足的微分方程形式上很類似。

這是一個(gè) max(p,q) 階的線性微分方程，在z=0 附近的基本解組可以選取為

當(dāng)p=q時(shí)兩種取法都可以。

從m,n的取值上就可以看到它們跟廣義超幾何函數(shù)有直接的聯(lián)系。事實(shí)上的確如此，以第一種情況為例，

等號(hào)右邊的 Meijer-G函數(shù)顯然就是廣義超幾何函數(shù)。

特殊情形因?yàn)閺V義超幾何函數(shù)是 Meijer-G函數(shù)的特殊情形，故所有可以用廣義超幾何函數(shù)表示的特殊函數(shù)都可以用 Meijer-G函數(shù)表示，但是，在個(gè)別情況下，用 Meijer-G函數(shù)有更簡單的表示式，例子如諾依曼函數(shù)，它可以用超幾何函數(shù)0F1表示，但表示式僅僅是將（第一類）貝塞爾函數(shù)的超幾何函數(shù)表示式代入其定義式中，因此含有兩個(gè)超幾何函數(shù)。而用 Meijer-G函數(shù)就可以直接表示為2：

另外一個(gè)例子是不完全伽瑪函數(shù)對(duì)參變量的偏導(dǎo)數(shù)，它無法用廣義超幾何函數(shù)表出，但可以用 Meijer-G函數(shù)表出：

事實(shí)上，不完全伽瑪函數(shù)對(duì)參變量的高階偏導(dǎo)數(shù)也可以用 Meijer-G函數(shù)表出，詳見不完全Γ函數(shù)一文。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)