[科普中國]-一元n次方程

一元n次方程(equation of degree n with one unknown)是一元n次多項(xiàng)式所確定的方程，指方程a0xn+a1xn-1+…+an=0 (a0≠0)，當(dāng)n≥3時(shí)，稱為高次方程.研究一元n次方程的根，包括根的存在、根式解、根的界和根的個(gè)數(shù)等，曾經(jīng)是代數(shù)學(xué)的中心問題，一元n次方程的系數(shù)和有理常數(shù)以及對(duì)這些數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除和開整數(shù)次方的符號(hào)組成的式子，稱為方程的根式，根式解就是求將代數(shù)方程的根用方程系數(shù)的根式表達(dá)出來，n次方程的根式解，亦稱為代數(shù)解法，三次方程與四次方程的根式解于16世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家給出，此后自然地開始尋求五次以及五次以上代數(shù)方程的根式解，這種嘗試一直繼續(xù)近三個(gè)世紀(jì)，經(jīng)過萊布尼茨(G.W.Leibniz)、范德蒙德(A.-T.Vandermonde)、拉格朗日(J.-L.Lagrange)、魯菲尼(P.Ruffini，)等人的艱辛努力，直到19世紀(jì)才由阿貝爾(N.H.Abel，)解決，他證明了一般的n (n≥5)次方程不能用根式解，不久伽羅瓦(E.Galois，)用群論方法得出了方程可用根式解的充分必要條件1。

基本介紹如果f(x)是一元n次多項(xiàng)式，那么f(x)=0叫做一元n次方程，一元n次方程的一般形式是：

f(x)=anx?+an-1x?-1+…+a1x+a0=0 (其中an≠0，n∈N.)……①

當(dāng)n>2時(shí)，稱為一元高次方程。

(1)若ai(i=0，1，2，…，n)是復(fù)數(shù)，則稱方程為復(fù)系數(shù)一元n次方程，n>2時(shí)為復(fù)系數(shù)高次方程。

(2)若ai(i=0，1，2…，n)是實(shí)數(shù)(或有理數(shù)、整數(shù))，則稱方程①為實(shí)系數(shù)(或有理系數(shù)、整系數(shù))一元n次方程.n>2時(shí)，也稱實(shí)系數(shù)(或有理系數(shù)、整系數(shù))高次方程.。

(3)如果有α，使得f(α) =0，則α是方程f(x)=0的根2。

一元n次多項(xiàng)式的解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程分別有一個(gè)根、二個(gè)根、三個(gè)根，它們都可以用代數(shù)解法來解，并且有求根公式。可以證明一元四飲方程有四個(gè)根，并且可以用代數(shù)解法求解。 當(dāng)n > 4時(shí)，根據(jù)伽羅華理論， 一般形式的n次方程不能用代數(shù)解法來解3。

關(guān)于一元n次方程的根的個(gè)數(shù)，我們有以下定理和推論。

定理1 (代數(shù)基本定理)一元n次方程至少有一個(gè)根。

如果f (x )的次數(shù)大手1, 那么根據(jù)定理1可以知道，方程f (x) =0至少有一個(gè)根，設(shè)這個(gè)根是α，那么由于f(α) =0，根據(jù)因式定理可以知道， f(x)=(x-α)q(x).，因?yàn)閤-α和q (x)的次數(shù)都低于f(x)的次數(shù)，所以f(x)可約，由此我們得到:

推論1 任何次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的3。

推論2 f(x)=a0x?+a1x?-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的標(biāo)準(zhǔn)分解式是

式中 都是正整數(shù)，

根據(jù)f (x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以知道，如果x=αi(i=1,2,...,),那么f(αi) =0,所以αi是方程f(x)=0的根。這就是說，f(x)的毎一個(gè)一次因式的根都是方程f(x)=0的根，如果x-αi是f (x)的k重因式，那么就說αi是方程f(x)=0的k重根，在討論根的個(gè)數(shù)吋，k重根當(dāng)作k個(gè)計(jì)算。

例如，方程(x-2)3(x+1)2(x-1)=0有三重根2，二重根-1，単根1，因此，這個(gè)方程一共有6個(gè)根。

定理2一元n次方程有n個(gè)根并且只有n個(gè)根。

證根據(jù)定理1的推論2，任何一個(gè)一元n次方程f(x)=0，如果把f(x)分解成標(biāo)準(zhǔn)分解式，就得

式中 都是正整數(shù)，

因?yàn)榉匠逃衚1重根α2,k2重根α2,..., kl重根αl，共 有k1+k2+...+kl=n個(gè)根，又因?yàn)閒 (x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的，所以f(x)=0有n個(gè)根并且只有n個(gè)根。

下面是一元n次方程的根和系數(shù)的關(guān)系的定理。

定理3 (韋達(dá)定理)如果一元n次方程f(x)=a0x?+a1x?-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的根是 ，那么

韋達(dá)定理的逆定理也成立，也就是說，如果n個(gè)數(shù) 滿足關(guān)系式（1），那么 必為方程f(x)=a0x?+a1x?-1+…+an-1x+an=0 (其中a0≠0，n∈N)的n個(gè)根3。

一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解為

韋達(dá)(Viete)給出了一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的一個(gè)求根公式為

一元三次方程有三個(gè)根，有可能都是實(shí)數(shù)根，也有可能是一個(gè)實(shí)數(shù)根和兩個(gè)互為共軛的復(fù)數(shù)根，不過，16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還沒有虛數(shù)的概念4。

一元四次方程由費(fèi)拉里(Ferrari)解決，方法是將一元四次方程化為兩個(gè)一元二次方程與一個(gè)一元三次方程求解。

拉格朗日發(fā)現(xiàn)不能用求一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程的方法來求解一元五次和一元五次以上的代數(shù)方程。

魯菲尼(Ruffini)-阿貝爾(Abel)定理：一般地，五次和五次以上的代數(shù)方程是不可能由代數(shù)根式求解。

伽羅瓦(Galois)建立了一般的理論：五次和五次以上方程代數(shù)可解的判別準(zhǔn)則，伽羅瓦為群論奠定了基礎(chǔ)，群論在物理學(xué)中被用來研究對(duì)稱性4。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)