[科普中國]-懷特黑德定理

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的同倫論中，懷特黑德定理說，拓?fù)淇臻gX和Y之間的連續(xù)映射f，誘導(dǎo)出所有同倫群之間的同構(gòu)，則當(dāng)X和Y是連通，并都有CW復(fù)形的同倫型的時(shí)候，f是同倫等價(jià)。

介紹在數(shù)學(xué)領(lǐng)域代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的同倫論中，懷特黑德定理說，拓?fù)淇臻gX和Y之間的連續(xù)映射f，誘導(dǎo)出所有同倫群之間的同構(gòu)，則當(dāng)X和Y是連通，并都有CW復(fù)形的同倫型的時(shí)候，f是同倫等價(jià)。這條定理是J.H.C.懷特黑德在1949年的兩篇重要論文中證明，給出理由以他在論文所引入的CW復(fù)形概念作為研究對(duì)象。1

定理敘述更準(zhǔn)確而言，假設(shè)給定CW復(fù)形X和Y，各有基點(diǎn)x和y。給定連續(xù)映射2

使得f(x) =y?？紤]對(duì)于n≥ 1 的誘導(dǎo)同態(tài)

在此 πn對(duì)n≥ 1 是第n個(gè)同倫群。當(dāng)n= 0 ，這是道路連通分支間的映射，若假設(shè)X和Y是連通的，那么這映射不具有資料，可以忽略掉。若同態(tài)f*都是同構(gòu)，便稱f為一個(gè)弱同倫等價(jià)。懷特黑德定理說對(duì)于連通CW復(fù)形，一個(gè)弱同倫等價(jià)是一個(gè)同倫等價(jià)。

注意有一點(diǎn)要注意：單單假設(shè)對(duì)每個(gè)n≥ 1都有πn(X)與πn(Y)同構(gòu)，并不足以得出X和Y是同倫等價(jià)。定理中必需設(shè)有映射f:X→Y能同時(shí)誘導(dǎo)出所有同倫群的同構(gòu)。例如令X=S2×RP3和Y=RP2×S3。那么X和Y有相同的基本群π1，即是Z2，也有相同的萬有覆疊空間，即是S2×S3；因此它們有同構(gòu)的同倫群（覆疊空間的投影誘導(dǎo)出對(duì)所有n≥ 2的同倫群πn的同構(gòu)）。不過，它們的同調(diào)群不同（可以從屈內(nèi)特公式看出）；所以X和Y不是同倫等價(jià)。

應(yīng)用懷特黑德定理對(duì)于一般拓?fù)淇臻g不成立，甚至不對(duì)Rn的所有子空間成立。例如，華沙圈（Warsaw circle）是平面的子集，所有的同倫群都是零，但是從華沙圈到一點(diǎn)的映射不是一個(gè)同倫等價(jià)。將這定理推廣至更一般空間的研究，是形狀理論的一部分。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)