[科普中國(guó)]-艾倫伯格－斯廷羅德公理

在數(shù)學(xué)的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中，艾倫伯格－斯廷羅德公理（Eilenberg–Steenrod axioms）是拓?fù)淇臻g的同調(diào)論的共有性質(zhì)。符合這套公理的同調(diào)論的典型例子，是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調(diào)。

正式定義艾倫伯格－斯廷羅德公理用于從拓?fù)淇臻g偶(X, A)范疇到阿貝爾群范疇的函子列，連同稱為邊界映射的自然變換（是的簡(jiǎn)記）。這套公理是：

1、恒同映射在同調(diào)群中誘導(dǎo)的同態(tài)是恒同同態(tài)。

2、設(shè)有空間偶的映射，那么。

3、設(shè)有空間偶的映射，那么。

4、同倫：同倫的映射在同調(diào)群中誘導(dǎo)相同的同態(tài)。換言之，如果同倫于，那么其誘導(dǎo)同態(tài)相同：對(duì)所有的n>0。

5、切除：設(shè)是空間偶，U是X的子集，使得U的閉包包含在A的內(nèi)部之中。那么包含映射在同調(diào)群中誘導(dǎo)的是同構(gòu)。

6、維數(shù)：設(shè)P是單點(diǎn)空間，那么對(duì)所有n≠ 0。

7、正合：任何空間偶(X,A)經(jīng)由包含映射和，都在同調(diào)群中誘導(dǎo)出長(zhǎng)正合序列：

約翰·米爾諾增加了一條公理：

可加性：設(shè)是拓?fù)淇臻g族的不交并，那么。

設(shè)P是單點(diǎn)空間，那么稱為系數(shù)群。12

結(jié)果同調(diào)群的一些結(jié)果可以用公理推導(dǎo)出，例如同倫等價(jià)空間的同調(diào)群是同構(gòu)的。一些較為簡(jiǎn)單的空間的同調(diào)群可以直接從公理算出，比如n-球面。因此可以推導(dǎo)出(n-1)-球面不是n-球的收縮。用這個(gè)結(jié)果可以給出布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)證明。3

維數(shù)公理如果一個(gè)同調(diào)論符合差不多所有艾倫伯格－斯廷羅德公理，但維數(shù)公理除外，便稱為廣義同調(diào)論（對(duì)偶概念為廣義上同調(diào)論）。一些重要例子在1950年代發(fā)現(xiàn)，例如拓?fù)銴-理論和配邊理論，都是廣義上同調(diào)論，并有與之對(duì)偶的同調(diào)論。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)