[科普中國]-尚努埃爾引理

在數(shù)學的同調代數(shù)中，尚努埃爾（Schanuel）引理是一條簡易的基本結果，可用來比較一個模離投射性有多遠。

敘述設R是環(huán)，

0 → K → P → M → 0

0 → K' → P ' → M → 0

是兩條左R-模的短正合序列，P和P '是投射模，則K ⊕ P '同構于K ' ⊕ P。

證明定義P⊕P'的子模如下，其中φ:P→M，φ':P' →M：

定義映射 π : X → P為自X投射第一個坐標至P。φ' 是滿射，所以對任何p ∈ X，都有q ∈ P ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X，得 π (p,q) = p。因此π 是滿射?？紤]π 的核：

由此可知有短正合序列

因為P是投射的，所以序列分裂，故有X ? K ' ⊕ P。同理可得

因此X ? P ' ⊕ K。結合X的兩等價式，結果得證。

應用設 是M的一個投射分解，使得 是投射的，則M的每個投射分解都是如此。

證明

設 是另一個投射分解?？紤]短正合序列

從尚努埃爾引理可知 ，而從假設知是投射的，故是投射模的直和項，因此也是投射的。1

起源斯蒂芬·尚努埃爾在歐文·卡普蘭斯基1958年秋季學期芝加哥大學的同調代數(shù)課上發(fā)現(xiàn)這個證法。卡普蘭斯基在書上說：他在課上給出了一個模的投射分解的一步，并指出若在一個分解中這個核是投射的，則在所有分解中都是投射的，又說雖然命題簡單，但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證，于是描述了大概，就是后來以其命名的引理。他們討論了幾天后，得到了完整的證明。2

本詞條內容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學