[科普中國]-海涅－康托爾定理

海涅-康托爾定理，以愛德華·海涅和喬治·康托爾命名，說明如果M是一個緊度量空間，則每一個連續(xù)函數(shù)都是一致連續(xù)的。1

定義M是一個緊度量空間，則每一個連續(xù)函數(shù)

f:M→N

其中N是度量空間，都是一致連續(xù)的。

例如，如果f : [a,b] → R是一個連續(xù)函數(shù)，則它是一致連續(xù)的。1

證明假設f在緊度量空間M上連續(xù)，但不一致連續(xù)，則以下命題

，使得對于所有M內(nèi)的x和y，都有

的否定是：

，使得，使得且。

其中d和 分別是度量空間M和N上的距離函數(shù)。

選擇兩個序列xn和yn，使得：

且

由于度量空間是緊致的，根據(jù)波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，存在兩個收斂的子序列（收斂于x0，收斂于y0），因此：

但由于f是連續(xù)的，且和收斂于相同的點，因此這是不可能的。2

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學