[科普中國]-最優(yōu)保性能控制

最優(yōu)保性能控制，是指掌握住最佳實現(xiàn)預定目的或者規(guī)定用途的能力，使其不超出范圍。

控制約束的不確定離散系統(tǒng)最優(yōu)保性能控制對一類具有范數(shù)有界時變參數(shù)不確定性和控制輸入約束的離散時間線性系統(tǒng)，采用線性矩陣不等式處理方法，導出了保性能控制律存在的條件，證明了該條件等價于一組線性矩陣不等式的可行性問題，并用這組線性矩陣不等式的可行解給出了保性能控制律的一個參數(shù)化表示。進而，通過建立并求解一個凸優(yōu)化問題，給出了具有控制約束的不確定離散系統(tǒng)最優(yōu)保性能控制律設計方法。1

保性能控制律設計滿足控制約束性能控器的存在條件。

定理1對系統(tǒng)和性能指標,若存在正常數(shù)α,矩陣 K∈Rm×n，對稱矩陣Z ∈Rn×n和對稱正定矩陣P∈Rn×n，使得對所有允許的不確定性,矩陣不等式成立，則u(k)= Kx(k)是系統(tǒng)的 一個具有性能矩陣P和滿足約束條件的保性能控制律。其中(Z)ii表示矩陣Z的對角線上的第i個元素。

證明：由于矩陣K和矩陣P滿足矩陣不等式,故由定義1知，u(k)=Kx(k)是系統(tǒng)(1)的一個保性能控制律，且閉環(huán)性能指標值滿足J ≤xT0Px0。從引理1及其證明知，矩陣P是對應閉環(huán)系統(tǒng)的一個Lyapunov矩陣，因此，由不等式可得:對任意的正整數(shù)k，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)x(k)滿足xT(k)Px(k)≤α。

定理1的條件中包含有參數(shù)不確定性，因此難以檢驗。以下定理進一步用一組線性矩陣不等式的可行性給出了滿足約束條件的保性能控制律的存在條件，并用這組線性矩陣不等式的可行解給出具有輸入約束的保性能控制律的構(gòu)造方法。

定理2若存在標量α，ε,矩陣Y和對稱矩陣X 、Z，使得以下矩陣不等式成立。

不等式組是關(guān)于變 量α,ε，X，Y，Z 的線性矩陣不等式組。因此，可以應用atlab軟件所提供的LMI工具箱中的命 令feasp來求解該線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題，并在可行的情況下，給出一個可行解，利用這個可行解可以構(gòu)造出所需要的保性能控制律。

定理2給出了滿足輸入約束的一組保性能控制律的參數(shù)化表示，利用這一參數(shù)化表示可以求出使得對應的閉環(huán)系統(tǒng)保性能最小化的最優(yōu)保性能控制律。最優(yōu)保性能控制律可以通過求解優(yōu)化問題得到。1

示例考慮一個倒立擺系統(tǒng)，該對象的一個離散化模型是

x(k +1)=(A+DfE1)x(k)+(B+DfE2)u(k)

式中：x=[θθyy] T∈R4———系統(tǒng)的狀態(tài)向量，θ———擺桿的偏移角，y———小車的位 移，u∈R———作用在小車上的力，f——反映模型參數(shù)不確定性的未知參數(shù)，且滿足f2≤1,

系統(tǒng)中的控制輸入u受到約束

-3≤u≤3

要求設計該系統(tǒng)滿足控制約束的最優(yōu)保性能控制律，使得性能指標最小化。其中

Q=diag{2、2、0.5、0.5}，R=0.01

建立相應的優(yōu)化問題，應用Matlab軟件LMI工具箱中的mincx命令，可得該優(yōu)化問題有解。進而根據(jù)定理，得到所考慮系統(tǒng)的最優(yōu)保成本控制律

u(k)=[5.5231、 1.7204、0.2277、 0.7625]x(k)

相應的閉環(huán)系統(tǒng)保性能J=74.3971。

若不考慮控制輸入u的約束，則根據(jù)文獻的方法，得到所考慮系統(tǒng)的最優(yōu)保性能控制律

u(k)=[7.8932、2.5186、0 .4336、1.1516]x(k)

相應的閉環(huán)系統(tǒng)保性能J=56.7078。對比兩種控制方法可以看出：由于考慮了系統(tǒng)的控制約束，系統(tǒng)的性能進一步變壞。1

不確定離散時間系統(tǒng)的H2/H∞最優(yōu)保性能控制針對具有兩個不同被調(diào)輸出的一類不確定離散時間系統(tǒng)，研究其H2/H∞狀態(tài)反饋保性能控制問題?；诰€性矩陣不等式處理方法，推導出存在H2/H∞保性能控制律的充分必要條件，并用一個線性矩陣不等式的可行解給出了所有保性能控制律的參數(shù)化表示。進而通過建立和求解一個凸優(yōu)化問題,給出了H2/H∞最優(yōu)保性能控制律設計方法。2

問題描述考慮由態(tài)方程描述的不確定離散系統(tǒng)中，x(k)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u(k)∈Rm是控制輸入，w(k)∈Rp是外部擾動輸入，z0(k)∈Rq和z1(k)∈Rr是被調(diào)輸出，A，B1，B2，C0，C1，D0，D1是描述名義系統(tǒng)模型的已知常數(shù)矩陣，ΔA和ΔB1是反映系統(tǒng)模型中參數(shù)不確定性的未知實矩陣?？紤]的參數(shù)不確定性假定是范數(shù)有界的，且具有如下形式

[ΔA、ΔB1]=HF[ E1、E2]

式中F∈R i×j是滿足

FTF≤I

的不確定矩陣，H，E1和E2是已知的常數(shù)矩陣，它們反映了不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)信息。

研究的問題是設計一個狀態(tài)反饋控制律

u(k)=Kx(k)

滿足設計指標的控制律稱為系統(tǒng)的H2/H∞保性能控制律。-J(K)一般依賴于所選取的控制律。使得最小化的保性能控制律稱為系統(tǒng)的H2/H∞最優(yōu)保性能控制律。2

保性能控制律方法的有效性通過一個例子來說明提出的保性能控制律設計方法的有效性。

C0=[1 1 1]，D0=1

C1=[ - 1、1、0]，D1=0.5

H=[0.25、- 0.50、0.75] T

E1=[0、0.50、1.00]，E2=0

給定γ=10，采用MATLAB中有關(guān)LMI的相關(guān)軟件，可方便地求得相應的優(yōu)化問題是可解的,因此，根據(jù)定理可得到所考慮系統(tǒng)的H2/H∞最優(yōu)保性能控制律為

u(k)=[0.96、0.78、0.63]x(k)

對所有允許的參數(shù)不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于被調(diào)輸出z0(k)的H2性能指標滿足J(K)≤ 22.12，被調(diào)輸出z1(k) 滿足‖Gwz1 (z)‖∞