[科普中國]-安內(nèi)定理

安內(nèi)定理是關(guān)于共點(diǎn)線的一個(gè)定理。若一圓周上有四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西姆森線，則這些西姆森線交于一點(diǎn)。

簡介安內(nèi)定理是關(guān)于共點(diǎn)線的一個(gè)定理。

若一圓周上有四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西姆森線，則這些西姆森線交于一點(diǎn)（如圖）。

西姆森線過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線，此線常稱為西姆森線或譯西摩松線（Simson line）。1

證明已知ΔABC外接圓上有一點(diǎn)P，過P向三邊所在直線作垂線，垂足分別是X、Y、Z，求證X、Y、Z三點(diǎn)共線。

證明：如圖，連接PB、PC，

因?yàn)椤螦YP=∠BXP=90°，

所以A、Y、P、X四點(diǎn)共圓，

所以∠AYX=∠APX，

同理C、Z、Y、P四點(diǎn)也共圓。

所以∠ZYC=∠CPZ。

在ΔAXP和ΔCZP中，∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ

所以∠APX=∠ZPC，

所以∠AYX=∠ZYC。

因?yàn)椤螦YX+∠XYC=180°，

所以∠ZYC+∠XYC=180°，

所以X、Y、Z三點(diǎn)在同一條直線上。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)