[科普中國]-短五引理

在同調(diào)代數(shù)中，短五引理是五引理的一個(gè)特例，它斷言：在任何阿貝爾范疇或群范疇中，若以下交換圖的橫行正合，而g，h皆為同構(gòu)，則f也是同構(gòu)。

簡(jiǎn)介在同調(diào)代數(shù)中，短五引理是五引理的一個(gè)特例，它斷言：在任何阿貝爾范疇或群范疇中，若以下交換圖的橫行正合，而 皆為同構(gòu)，則 也是同構(gòu)。此斷言是五引理的直接推論。

這個(gè)引理可以有如下詮釋：假設(shè)有態(tài)射 ，此態(tài)射在子對(duì)象及相應(yīng)的商對(duì)象上誘導(dǎo)出的態(tài)射 皆為同構(gòu)，則 本身也是同構(gòu)。重點(diǎn)是必須先假設(shè) 的存在性。1

五引理在同調(diào)代數(shù)中，五引理是關(guān)于交換圖的一個(gè)重要引理。五引理可以被視為兩個(gè)相對(duì)偶的四引理之組合。此結(jié)果不只對(duì)阿貝爾范疇成立，也對(duì)群范疇成立。1

同調(diào)代數(shù)同調(diào)代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究同調(diào)與上同調(diào)技術(shù)的一般框架。同調(diào)代數(shù)是一門相對(duì)年輕的學(xué)科，其源頭可追溯到代數(shù)拓?fù)洌▎渭冃瓮{(diào)）與抽象代數(shù)（合沖模）在十九世紀(jì)末的發(fā)展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創(chuàng)。

同調(diào)代數(shù)的發(fā)展與范疇論的出現(xiàn)密不可分。大致說來，同調(diào)代數(shù)是（上）同調(diào)函子及其代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究。“同調(diào)”與“上同調(diào)”是一對(duì)對(duì)偶的概念，它們滿足的范疇論性質(zhì)相反（即：箭頭反向）。數(shù)學(xué)很大一部分的內(nèi)在構(gòu)造可藉鏈復(fù)形理解，其性質(zhì)則以同調(diào)與上同調(diào)的面貌展現(xiàn)，同調(diào)代數(shù)能萃取這些鏈復(fù)形蘊(yùn)含的資訊，并表之為拓?fù)淇臻g、層、群、環(huán)、李代數(shù)與C*-代數(shù)等等“具體”對(duì)象的（上）同調(diào)不變量。譜序列是計(jì)算這些量的有力工具。

同調(diào)代數(shù)肇始即在代數(shù)拓?fù)渲邪缪菀?。其影響日漸擴(kuò)大，目前已遍及交換代數(shù)、代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、表示理論、算子代數(shù)、偏微分方程與非交換幾何。K-理論是一門獨(dú)立的學(xué)科，它也采用同調(diào)代數(shù)的辦法。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)