[科普中國(guó)]-牛頓一辛普森公式

牛頓-辛普森公式是一種適應(yīng)面較廣的求積公式。

這個(gè)公式不僅適用于作為擬柱體的棱柱、棱錐和棱臺(tái)，而且適用于不是擬柱體的圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球臺(tái)，甚至像橢球體等。

簡(jiǎn)介一個(gè)幾何體被垂直于其高（或平行于其底）的平面所截，如果截面面積是它到上底（或下底）的距離的K次函數(shù)（K=0,1,2,3），即S(x)=ax3+bx2+cx+d，則它的體積為 ，式中h為幾何體的高，S(O)，S(h)是上、下底的面積，S(h/2)是中截面面積。1

證明只需要證明根據(jù)公式算出來的體積和用積分算出來的體積相等即可。

設(shè)截面面積是截面高h(yuǎn)的不超過3次的函數(shù)：f(h)= ah3+bh2+ch+d，那么，利用積分計(jì)算體積，可以得到（積分限為0~h）：V=∫f(x)dx=ah4/4+bh3/3+ch2/2+dh；利用公式計(jì)算體積，可以得到：

V=H(S1+4S0+S2)/6=h(f(0)+4f(h/2)+f(h))/6=h[d+4(ah3/8+bh2/4+ch/2+d)+(ah3+bh2+ch+d)]/6

=ah4/4+bh3/3+ch2/2+dh。

因此兩式相等，公式得證。

注：當(dāng)函數(shù)f(h)次數(shù)高于或等于4次時(shí)，公式一般不成立。這只需驗(yàn)證f(h)=h4時(shí)公式不成立即可。

應(yīng)用牛頓-辛普森公式是一種適應(yīng)面較廣的求積公式。

牛頓-辛普森公式不僅適用于作為擬柱體的棱柱、棱錐和棱臺(tái)，而且適用于不是擬柱體的圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球臺(tái)，甚至像橢球體等。

事實(shí)上，其他符合條件（所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面上、用平行于底面的平面去截該圖形時(shí)所得到的截面面積是該平面與一底之間距離的不超過3次的函數(shù)）的立體圖形也可以利用該公式求體積。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)