[科普中國]-舒爾補

在線性代數(shù)與矩陣論中，一個矩陣的子矩陣之舒爾補是一個與其余子陣同樣大小的矩陣，定義如下：假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分，分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣。1

定義假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分，分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣，也就是說：

并且D是可逆的矩陣。則D在矩陣中的舒爾補是：

這是一個p×p的矩陣。舒爾補得名于數(shù)學家伊賽·舒爾，后者用舒爾補來證明舒爾引理。然而，舒爾補的概念在之前就曾經被使用過。2

背景舒爾補實際上是對原來的矩陣M進行一系列的初等變換操作后得到的矩陣，其轉換矩陣是下三角矩陣：

其中 表示一個p×p的單位矩陣。矩陣M右乘轉換矩陣L之后，左上角就會出現(xiàn)舒爾補，具體的形式是：

因此，矩陣M的逆，如果存在的話，可以用 以及其舒爾補（如果存在的話）來表示：

當p和q都等于1（即A、B、C和D都是系數(shù)）時，我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達式：

這也說明了 是非零的數(shù)。3

在矩陣方程求解中的應用舒爾補很自然地可以在如下的方程組求解中發(fā)揮作用：

其中x以及a是p維的列向量，而y以及b則是q維的列向量。矩陣A、B、C、D則同上面假設。將第二個方程左乘上矩陣 ，并將得到后的方程與第一個相減，就得到：

因此，如果可以知道D以及D的舒爾補的逆矩陣，就可以解出未知量x之后帶入第二個方程 就可以解出y。這樣，就將 矩陣的求逆問題轉化成了分別求解一個p×p矩陣以及一個 q×q矩陣的逆矩陣的問題。這樣就大大減低了復雜度（計算量）。實際上，這要求矩陣D滿足足夠好的條件，以使得算法得以成立。

概率論和統(tǒng)計學中的應用假設有分別屬于 以及 的隨機列向量X,Y，并且 中的向量對 (X,Y)具有多維正態(tài)分布，其方差矩陣是對稱的正定矩陣

那么X在Y給定時的條件方差是矩陣C在V中的舒爾補：

本詞條內容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學