[科普中國(guó)]-向量球諧函數(shù)

向量球諧函數(shù)(Vector spherical harmonics)是應(yīng)用于球坐標(biāo)系的拉普拉斯方程式的向量解，是球諧函數(shù)的向量衍伸形式。在必須計(jì)算向量場(chǎng)的電動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。

定義在球坐標(biāo)系下，拉普拉斯算符作用在一三維向量場(chǎng)上可以寫為

利用分離變數(shù)法可以將此一方程式的解分解為一系列本征函數(shù)的線性組合

其中的徑向解 與標(biāo)量球諧函數(shù)相同，而 為一與角度相關(guān)的向量解，也就是向量球諧函數(shù)。

向量球諧函數(shù)依用途有很多定義方式1。這邊我們依照 Barrera 等人的定義，以對(duì)球諧函數(shù)Y?m(θ,φ)為基礎(chǔ)，將三個(gè)向量球諧函數(shù)表示為

這邊 是對(duì)應(yīng)球座標(biāo)(r,θ,φ)的向量，而 則為其單位向量。

主要特性依照上述 Barrera 的定義，向量球諧函數(shù)有以下特性：

對(duì)稱性與球諧函數(shù)相同，向量球諧函數(shù)有對(duì)稱性

星號(hào) * 代表共軛函數(shù)。

正交性三種向量球諧函數(shù)彼此兩兩正交

另外同種類的球諧函數(shù)的內(nèi)積為：

標(biāo)量場(chǎng)的梯度對(duì)一個(gè)標(biāo)量場(chǎng) ，若其多極展開可表示為：

則其梯度可以向量球諧函數(shù)表示為：

散度三種向量球諧函數(shù)之散度分別為：

其中 為球諧函數(shù)之徑向分布， 為球諧函數(shù)。

旋度三種向量球諧函數(shù)之旋度分別為：

其中{\textstyle f(r)}為球諧函數(shù)之徑向分布

運(yùn)用電動(dòng)力學(xué)在沒有源的空間中，馬克士威方程組可以被簡(jiǎn)化為

此處是電場(chǎng)，是H場(chǎng)，是介質(zhì)中的波數(shù)。

因?yàn)橄蛄壳蛑C函數(shù)可以很正確的描述簡(jiǎn)化后的電磁場(chǎng)方程式，所以在電動(dòng)力學(xué)中，向量球諧函數(shù)獲得廣泛的利用。常見的應(yīng)用如多極輻射或米氏散射等。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)