[科普中國(guó)]-洛倫茨吸引子

洛倫茨吸引子是洛倫茨振子（Lorenz oscillator）的長(zhǎng)期行為對(duì)應(yīng)的分形結(jié)構(gòu)，以愛(ài)德華·諾頓·洛倫茨的姓氏命名。

簡(jiǎn)述洛倫茨吸引子及其導(dǎo)出的方程組是由愛(ài)德華·諾頓·洛倫茨于1963年發(fā)表，最初是發(fā)表在《大氣科學(xué)雜志》（Journal of the Atmospheric Sciences）雜志的論文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大氣方程中出現(xiàn)的對(duì)流卷方程簡(jiǎn)化得到的。

這一洛倫茨模型不只對(duì)非線性數(shù)學(xué)有重要性，對(duì)于氣候和天氣預(yù)報(bào)來(lái)說(shuō)也有著重要的含義。行星和恒星大氣可能會(huì)表現(xiàn)出多種不同的準(zhǔn)周期狀態(tài)，這些準(zhǔn)周期狀態(tài)雖然是完全確定的，但卻容易發(fā)生突變，看起來(lái)似乎是隨機(jī)變化的，而模型對(duì)此現(xiàn)象有明確的表述。

從技術(shù)角度看來(lái)，洛倫茨振子具有非線性、三維性和確定性。2001年，沃里克·塔克爾（Warwick Tucker）證明出在一組確定的參數(shù)下，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出混沌行為，顯示出人們今天所知的奇異吸引子。這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數(shù)在2與3之間的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已于1983年估算出豪斯多夫維數(shù)為2.06 ± 0.01，而關(guān)聯(lián)維數(shù)為2.05 ± 0.01。

此系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)在單模激光和發(fā)電機(jī)的簡(jiǎn)化模型中。12除此之外，閉環(huán)對(duì)流、水輪轉(zhuǎn)動(dòng)等物理模型也有此系統(tǒng)的應(yīng)用。

洛倫茨吸引子是洛倫茨振子（Lorenz oscillator）的長(zhǎng)期行為對(duì)應(yīng)的分形結(jié)構(gòu)，以愛(ài)德華·諾頓·洛倫茨的姓氏命名。洛倫茨振子是能產(chǎn)生混沌流的三維動(dòng)力系統(tǒng)，是一種吸引子，以其雙紐線形狀而著稱。映射展示出動(dòng)力系統(tǒng)（三維系統(tǒng)的三個(gè)變量）的狀態(tài)是如何以一種復(fù)雜且不重復(fù)的模式，隨時(shí)間的推移而演變的。

洛倫茨方程洛倫茨方程是基于納維－斯托克斯方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程簡(jiǎn)化得出，最初的形式為：3

——流速，T——流體溫度，T0——上限溫度， ——密度，p——壓強(qiáng)， ——重力， ——依次為熱膨脹系數(shù)、熱擴(kuò)散率和動(dòng)黏滯系數(shù)。

簡(jiǎn)化后的形式稱為洛倫茨方程，是決定洛倫茨振子狀態(tài)的方程為一組常微分方程：

含時(shí)間參數(shù)的形式：

稱為普蘭特爾數(shù)，稱為瑞利數(shù)。所有的，但通常不定。

瑞利數(shù)

|| ||

源代碼GNU Octave下面是GNU Octave模擬洛倫茨吸引子的源代碼：

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve## x' = sigma*(y-x)## y' = x*(rho - z) - y## z' = x*y - beta*zfunction dx = lorenzatt(X) rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3; dx = zeros(3,1); dx(1) = sigma*(X(2) - X(1)); dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2); dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3); returnend## Using LSODE to solve the ODE system.clear allclose alllsode_options("absolute tolerance",1e-3)lsode_options("relative tolerance",1e-4)t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);TMSGplot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))view(45,45)Borland C#include #include void main(){ double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1; double dt = 0.0001; int a = 5, b = 15, c = 1; int gd=DETECT, gm; initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI"); do { x1 = x + a*(-x+y)*dt; y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt; z1 = z + (-c*z+x*y)*dt; x = x1; y = y1; z = z1; putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320), (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9); } while (!kbhit()); closegraph();}參見(jiàn)混沌映射列表

Takens定理

曼德布洛特集合

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)