[科普中國(guó)]-密度矩陣重整化群

密度矩陣重整化群 (Density Matrix Renormalization Group)，簡(jiǎn)稱DMRG，是一種數(shù)值算法，于公元1992年由美國(guó)物理學(xué)家史提芬·懷特提出。 密度矩陣重整化群是用來(lái)計(jì)算量子多體系統(tǒng)（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一個(gè)非常精準(zhǔn)的數(shù)值算法，在一維或準(zhǔn)一維的系統(tǒng)可以得到系統(tǒng)尺寸很大且很準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，但是在二維的量子多體系統(tǒng)中卻很難達(dá)到所需要的精確度。目前此算法仍無(wú)法計(jì)算三維的量子系統(tǒng)。

簡(jiǎn)介密度矩陣重整化群(Density Matrix Renormalization Group)，簡(jiǎn)稱DMRG，是一種數(shù)值算法，于公元1992年由美國(guó)物理學(xué)家史提芬·懷特提出。 密度矩陣重整化群是用來(lái)計(jì)算量子多體系統(tǒng)（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一個(gè)非常精準(zhǔn)的數(shù)值算法，在一維或準(zhǔn)一維的系統(tǒng)可以得到系統(tǒng)尺寸很大且很準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，但是在二維的量子多體系統(tǒng)中卻很難達(dá)到所需要的精確度。目前此算法仍無(wú)法計(jì)算三維的量子系統(tǒng)。1

DMRG 的起源從數(shù)值計(jì)算的角度來(lái)看，量子多體物理主要的困難之處就在于系統(tǒng)的希爾伯特空間維度隨著系統(tǒng)的尺寸呈指數(shù)成長(zhǎng)，例如，一個(gè)由N個(gè)自旋1/2的粒子所組成的一維晶格系統(tǒng)其希爾伯特空間維度大小為 。 傳統(tǒng)的解決方法有兩種：

基于Lanczos算法的精確對(duì)角化法，只求出系統(tǒng)的低能狀態(tài)。這種方法只能處理很小的系統(tǒng)。

基于數(shù)值重整化群（Numerical Renormalization Group，簡(jiǎn)稱NRG）的重整化方法，可以計(jì)算很大的系統(tǒng)。重整化的一般思想是：減少系統(tǒng)的自由度，并在這個(gè)縮減的空間中，通過(guò)特定的重整化技巧，在迭代過(guò)程中保持系統(tǒng)的自由度數(shù)不變，并使約化系統(tǒng)最終收斂到真正系統(tǒng)的低能態(tài)中。然而，NRG一般只適用在雜質(zhì)系統(tǒng)中，當(dāng)演算一般的格點(diǎn)系統(tǒng)，如赫巴德模型（Hubbard model）時(shí)，往往出現(xiàn)很大的誤差。

史提芬·懷特最先意識(shí)到，NRG在演算Hubbard模型中的失敗，是由于在NRG的迭代過(guò)程中忽略了環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的影響。換句話說(shuō)，NRG的重整化方法——只保留低能量本征態(tài)——并不能正確得出下一次迭代時(shí)的低能狀態(tài)。
DMRG的重整化方法不同于NRG。DMRG在重整化前，把整個(gè)系統(tǒng)視為兩個(gè)部分，一部分為系統(tǒng)，一部分為環(huán)境，而系統(tǒng)和環(huán)境的整體稱為超塊。接著，計(jì)算超塊的基態(tài)，有了基態(tài)之后便計(jì)算約化密度矩陣，然后對(duì)角化這個(gè)約化密度矩陣，選出擁有較大的本征值的本征態(tài)。這些擁有較大的本征值的本征態(tài)正是基態(tài)性質(zhì)最重要的態(tài)，然后根據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)對(duì)系統(tǒng)部分做重整化。1

實(shí)行DMRG的技巧實(shí)際實(shí)行DMRG是一個(gè)很冗長(zhǎng)的工作，一些主要常用的計(jì)算手段如下：

為了得到超塊的基態(tài)，通常利用Lanczos 算法或Jacobi-Davidson 算法來(lái)對(duì)角化超塊的哈密頓算符。

一般的情況下，Lanczos 算法需要一個(gè)初始的隨機(jī)向量。通過(guò)若干次迭代后，該向量收斂到基態(tài)。這說(shuō)明算法的計(jì)算速度跟向量迭代到基態(tài)的次數(shù)有關(guān)。顯然，如果能找出一個(gè)跟基態(tài)非常接近的向量做初始的隨機(jī)向量，Lanczos 算法的效率必然大大提高。史提芬·懷特在公元1996年提出：透過(guò)波函數(shù)轉(zhuǎn)換可將目前這次計(jì)算得到的基態(tài)，作為下一次Lanczos 算法的初始向量。如此一來(lái)便加速對(duì)角化超塊的哈密頓算符所花的時(shí)間。

Lanczos 算法中需要做被對(duì)角化矩陣和向量的乘積計(jì)算。該被對(duì)角化的矩陣往往非常大，直接列出該矩陣和做矩陣向量乘積會(huì)嚴(yán)重降低Lanczos 算法效率。當(dāng)該被對(duì)角化矩陣可以拆分為幾個(gè)小矩陣的直積之和時(shí)（DMRG所計(jì)算的格點(diǎn)系統(tǒng)往往有這種性質(zhì)），可以無(wú)需直接寫(xiě)出該矩陣而完成整個(gè)Lanczos 算法。

在有對(duì)稱性的系統(tǒng)中有一些守恒的量子數(shù)，例如海森堡模型中的總自旋及其{\displaystyle z}軸分量。若是已知基態(tài)的量子數(shù)則可針對(duì)系統(tǒng)的希爾伯特空間特定的量子數(shù)的子空間進(jìn)行對(duì)角化。

如缺少上述的一些計(jì)算手段，DMRG可能難以完成對(duì)實(shí)際物理模型的演算。1

應(yīng)用DMRG 已經(jīng)成功的在許多不同的一維模型上計(jì)算低能態(tài)的一些性質(zhì)，如易辛模型，海森保模型等自旋模型，費(fèi)米子系統(tǒng)如Hubbard 模型，雜質(zhì)系統(tǒng)如近藤效應(yīng)，玻色子系統(tǒng)，混合玻色子與費(fèi)米子的系統(tǒng)。隨著現(xiàn)代電腦硬件技術(shù)的進(jìn)步，DMRG應(yīng)用在二維系統(tǒng)上可行性愈來(lái)愈高，目前一般的作法是將二維系統(tǒng)視為一個(gè)多腿的梯子，再將梯子的長(zhǎng)度拉長(zhǎng)。2011年發(fā)表在《Science》封面的一篇文章中，利用 DMRG 探討二維Kagome晶格中的自旋-1/2系統(tǒng)的基態(tài)。由這篇文章來(lái)看， DMRG 可能仍是對(duì)付二維系統(tǒng)最強(qiáng)大的武器。1

DMRG 的擴(kuò)充DMRG的巨大成功帶給人們?cè)S多沖擊與啟示，可惜的是由于波函數(shù)被表示成矩陣積態(tài)（Matrix Product State），造成DMRG在處理二維量子晶格系統(tǒng)時(shí)特別困難，更別說(shuō)是三維的量子系統(tǒng)。繼承DMRG的知識(shí)和技術(shù)，許多物理學(xué)家著手發(fā)展適合研究二維甚至三維系統(tǒng)中的數(shù)值方法，例如：TEBD（Time-evolving block decimation）、PEPS（Projected Entangled Pair States）、MERA（multi-scale entanglement renormalization ansatz），等等。另一方面，也有許多物理學(xué)家在原有的DMRG方法上加以改良，讓科學(xué)家可以處理更多有趣的一維量子晶格系統(tǒng)的問(wèn)題，例如：時(shí)間演化、有限溫度，等等。1

其他強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中常見(jiàn)的數(shù)值方法還有：量子蒙特卡羅法(Quantum Monte Carlo)、精確對(duì)角化法(Exact Diagonalization)。

一個(gè)密度矩陣重整化群的實(shí)例：海森堡模型的DMRG

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)