[科普中國(guó)]-熱傳導(dǎo)方程式

熱傳導(dǎo)方程（或稱(chēng)熱方程）是一個(gè)重要的偏微分方程，它描述一個(gè)區(qū)域內(nèi)的溫度如何隨時(shí)間變化。

簡(jiǎn)介熱傳導(dǎo)方程（或稱(chēng)熱方程）是一個(gè)重要的偏微分方程，它描述一個(gè)區(qū)域內(nèi)的溫度如何隨時(shí)間變化。1

物理動(dòng)機(jī)熱傳導(dǎo)在三維的等方向均勻介質(zhì)里的傳播可用以下方程表達(dá)：

其中：u=u(t,x,y,z)表溫度，它是時(shí)間變數(shù)t與空間變數(shù)(x,y,z)的函數(shù)； 是空間中一點(diǎn)的溫度對(duì)時(shí)間的變化率； 與 溫度對(duì)三個(gè)空間坐標(biāo)軸的二次導(dǎo)數(shù)；k是熱擴(kuò)散率，決定于材料的熱傳導(dǎo)率、密度與熱容。

熱方程是傅里葉冷卻律的一個(gè)推論（詳見(jiàn)條目熱傳導(dǎo)）。如果考慮的介質(zhì)不是整個(gè)空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質(zhì)是整個(gè)空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長(zhǎng)速度有個(gè)指數(shù)型的上界，此假定吻合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質(zhì)，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態(tài)會(huì)趨向同一個(gè)穩(wěn)態(tài)（熱平衡）。因此我們很難從現(xiàn)存的熱分布反解初始狀態(tài)，即使對(duì)極短的時(shí)間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡(jiǎn)單的例子。利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式

其中的 是對(duì)空間變數(shù)的拉普拉斯算子。

熱方程支配熱傳導(dǎo)及其它擴(kuò)散過(guò)程，諸如粒子擴(kuò)散或神經(jīng)細(xì)胞的動(dòng)作電勢(shì)。熱方程也可以作為某些金融現(xiàn)象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應(yīng)用于影像分析。量子力學(xué)中的薛定諤方程雖然有類(lèi)似熱方程的數(shù)學(xué)式（但時(shí)間參數(shù)為純虛數(shù)），本質(zhì)卻不是擴(kuò)散問(wèn)題，解的定性行為也完全不同。

就技術(shù)上來(lái)說(shuō)，熱方程違背狹義相對(duì)論，因?yàn)樗慕獗磉_(dá)了一個(gè)擾動(dòng)可以在瞬間傳播至空間各處。擾動(dòng)在前方光錐外的影響通常可忽略不計(jì)，但是若要為熱傳導(dǎo)推出一個(gè)合理的速度，則須轉(zhuǎn)而考慮一個(gè)雙曲線型偏微分方程。1

應(yīng)用熱方程在許多現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型中出現(xiàn)，而且常在金融數(shù)學(xué)中作為期權(quán)的模型出現(xiàn)。著名的布萊克-斯科爾斯模型中的差分方程可以轉(zhuǎn)成熱方程，并從此導(dǎo)出較簡(jiǎn)單的解。許多簡(jiǎn)單期權(quán)的延伸模型沒(méi)有解析解，因此必須以數(shù)值方法計(jì)算模型給出的定價(jià)。熱方程可以用Crank-Nicolson法有效地求數(shù)值解，此方法也可用于許多無(wú)解析解的模型。1

參見(jiàn)熱

偏微分方程

發(fā)展方程

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)