[科普中國]-集合存在性公理

集合存在性公理(existence axiom of set)是GB系統(tǒng)的集合論公理，指GB系統(tǒng)中的第3組(即C組)公理，共有4條，包括無窮公理，并集公理，冪集公理，和替換公理。

基本介紹集合存在性公理是GB系統(tǒng)的集合論公理，指GB系統(tǒng)中的第3組(即C組)公理，共有4條：

1.無窮公理，即無條件承認有一非空集a，對于a的每一元x，必有a的元y，使得x為y的真子集，因此，a的元必有無窮多。

2.并集公理，即斷言對任何集x，都存在著一集y，使得x的任何元的元都是y的元1。

3.冪集公理，指對任何集x，都有集合y存在，使得x的任一子集都是y的元。

4.替換公理，指對任何集合x和任何單值的A，總有集合y存在，此y恰由x的元經(jīng)由單值二元關(guān)系A(chǔ)所產(chǎn)生的集組成。

其符號表達式依次為：

C1 ?a{～Cm(a)∧?x[x∈a→?y(y∈a∧x? y)]}.

C2 ?x?y?u?v[u∈v∧v∈x→u∈y].

C3 ?x?y?u[u?x→u∈y].

C4 ?x?A{Un(A)→?y ?u[u∈y??v(v∈x∧ 〈u，v〉∈A)]}.

注意，由C1，C2，C3所決定的新集合并不惟一確定，又上述諸符號表達式中之Cm和Un分別指空類和單值，亦即2：

Cm(X)→?u?(u∈X)，

Un(X)??u?v?w[〈 〉∈X∧〈 〉∈X→v=w].

無窮公理無窮公理(axiom of infinity)亦稱無限公理，是集合論的一條重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1908年首先提出，該公理是斷言：存在無窮集合。對策梅洛這一公理的形式化有各種不同的方法，較為成功的有：

1.?X(?u(u∈X)∧(?u∈X)

(?v(v∈X∧u?v∧?(v=u)).

2.存在一個遞歸集S：?S(?∈S∧(?X∈S)[X∪{X}∈S]).遞歸集是無限集；反之，利用替換公理模式可從無限集的存在性推出遞歸集的存在性.

另外，1925年，塔爾斯基(A.Tarski)定義了T無限的概念：如果存在X?P(N)，沒有極大元素，則稱N是T無限集，他證明了一個集合無限，當(dāng)且僅當(dāng)它是T無限的，因此無窮公理也可表述為：存在T無限集2。

并集公理并集公理(axiom of union)是集合論的一條重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1908年提出，該公理斷言：對任何集合X，存在X的所有元素的并集Y=∪X.這條公理可以形式化為：

?X?Y?u(u∈Y?z(z∈X∧u∈z)).

利用這條公理可以定義集合的并運算，例如，X∪Y=∪{X，Y}，X∪Y∪Z=(X∪Y)∪Z.{a，b，c}={a，b}∪{c}等.也可以定義集合的包含關(guān)系：

X?Y∪{X，Y}=Y.

由于X?X∪Y，Y?X∪Y，所以，從并集公理可以得出包含公理：對任意兩集X與Y，存在同時以X，Y為子集的集合2。

冪集公理冪集公理(axiom of power set)是集合論的一條重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1908年首先提出，該公理斷言：對任何集合X，存在它的所有子集組成的集合(冪集)Y=P(X).這條公理可以形式化為?X?Y?u(u∈Y??v(v∈u→v∈X)).如果把?v(v∈u→v∈X)記為u?X，表示u是X的子集，公理又可形式化為：?X?Y?u(u∈Y?u?X)，從冪集公理得，X∈P(X)且?(P(X)X)，并可以定義集合論中一系列重要的概念，例如，集合的笛卡兒積、二元關(guān)系、二元關(guān)系的定義域、值域、域、n元關(guān)系、對應(yīng)、映射、映射的限制、映射的擴張、運算、集上等價關(guān)系等.因為這些概念都有一個根本的出發(fā)點：對任何二集合X與Y，X×Y?P(P(X∪Y))，即X×Y是集合2。

替換公理替換公理(axiom of replacement)亦稱置換公理，是集合論的一條重要公理，替換公理由弗倫克爾(A.A.Fraenkel)于1922年首先提出，該公理斷言：對任何集合論公式A(u，v)有

?u?v?w(A(u，v)∧A(u，w)→v=w)→

?X?Y?v(v∈Y?(?u∈X)A(u，v)).

這條公理指出，對于任何集合X與任何公式A(u，v)確定的映射f，映射的象f(X)是一個確定的集合，由于公式A(u，v)有無窮多個，每個具體的公式都確定一條公理，因此，弗倫克爾的公理實質(zhì)上是一個公理模式，它包含了無窮多條公理。替換公理的引入，解決了某些ZF集合論其他公理不能解決的問題。有了這條公理，可以推得某種非常大的特殊集合，但是如果去掉無窮公理，由替換公理推不出無窮集的存在性.在ZF中，子集公理與空集公理可直接由替換公理推出.由替換公理與冪集公理可導(dǎo)出配對公理。

替換公理有下列各種等價形式：

1.若F是一個映射，則對任何集合A，F(xiàn)(A)是一個集合。

2.若F是一個映射，且定義域dom(F)是集合，則值域ran(F)也是集合。

3.若F是一個映射，則?A?f(F|A=f)，下面的P1，P2，…，Pn是參變元。

4.對任何集合論公式φ(x，y，P1，P2，…，Pn)有?x?y?z(φ(x，y，P1，P2，…，Pn)∧φ(x，z，P1，P2，…，Pn)→y=z)→?X?Y?y(y∈Y?(?x∈X)φ(x，y，P1，P2，…，Pn))2。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)