[科普中國(guó)]-第一極大原理

第一極大原理(first maximal principle)也稱佐恩引理，Zorn引理，是選擇公理的一個(gè)等價(jià)命題。該引理斷言：任給非空半序集，若其中每個(gè)全序子集(有時(shí)又稱為鏈)都有上界，則該半序集有極大元，這條引理在近代數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，許多用選擇公理證明的命題，使用佐恩引理常常顯得更方便，例如，以下在代數(shù)、泛函、拓?fù)渲谐霈F(xiàn)的重要定理都是直接應(yīng)用佐恩引理的結(jié)果：每個(gè)線性空間必存在基底；每個(gè)域的代數(shù)閉包存在且惟一；哈恩-巴拿赫擴(kuò)張定理：任給線性空間的子空間上的線性泛函，必可擴(kuò)張為全空間上的線性泛函；吉洪諾夫乘積定理：緊空間的拓?fù)涑朔e也是緊空間。佐恩引理首先作為定理被德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯多夫(F.Hausdorff)于1914年所證明，20年后，佐恩(M.Zorn)重新發(fā)現(xiàn)了它，證明了該命題與選擇公理等價(jià)(1935年)，此后，又利用它證明了任何集是可比較的，即任何集A，B，必有A?B或B?A(1944年)，稱之為“引理”，完全是由于歷史的沿襲1。

基本介紹第一極大原理是集合論的一條重要引理，它由佐恩(M.A.Zorn)于1935年用選擇公理給以證明，該引理斷言：如果非空偏序集S的任何子鏈在S中有上界，則S至少有一個(gè)極大元素，佐恩引理與選擇公理等價(jià)，但它比選擇公理使用方便，它不僅是近世代數(shù)中的有力工具，而且已應(yīng)用到其他許多數(shù)學(xué)分支中，通常人們也把由佐恩指出的另外4個(gè)與第一極大原理等價(jià)的命題稱為佐恩引理。它們是：

1.若偏序集S的任何良序子集均有上界，則S至少有一個(gè)極大元；

2.偏序集S必含有良序子集w，它沒有不屬于自己的上界；

3.圖基引理；

4.若C是一個(gè)關(guān)于映射的有限特征條件，則在滿足C的映射中，有一個(gè)映射的定義域是極大元2。

應(yīng)用舉例佐恩引理的一個(gè)典型應(yīng)用是證明任何一個(gè)環(huán)R必然有極大理想。用P來表示R的所有真理想（即R的所有雙邊理想，且該理想是R的真子集）。在P中引入一個(gè)偏序，定義為集合的包含關(guān)系，那么P中必然有一個(gè)極大元素，并且這個(gè)元素是R的真子集，從而R有一個(gè)極大理想。

為了應(yīng)用佐恩引理，需要證明P的任何一個(gè)全序子集T都有一個(gè)上界，即存在一個(gè)理想I滿足I is subset of R并且I比T中任何一個(gè)元素都大，但I(xiàn)并非R本身?，F(xiàn)取I為T中所有理想的并?？梢宰C明，I是一個(gè)理想：如果a和b是I中的兩個(gè)元素，那么必然存在T中兩個(gè)理想J, K ∈T滿足a ∈J, b ∈K。注意T是一個(gè)全序集，所以必然有J is subset of K或者K is subset of J，從而必然有a, b ∈J或a, b ∈I二者居其一，從而a + b ∈I。進(jìn)一步，對(duì)于任何r ∈R, a ∈I都可以證明ra ∈I。由此，I成為R的一個(gè)理想。

現(xiàn)在考慮證明的核心部分：利用I = R充要于1 ∈I，可以證明I一定是R的真子集。因?yàn)槿绻? ∈I，那么必然有某個(gè)J ∈T滿足1 ∈J，這意味著J = R，這與T的選取是矛盾的。

這樣，利用佐恩引理，P必然包含一個(gè)最大元素，而這個(gè)元素就是R的一個(gè)極大理想。

注意這個(gè)結(jié)論只在R是單位環(huán)的時(shí)候成立，在R不是單位環(huán)的情形下，一般而言這個(gè)結(jié)論是不成立的。

證明從選擇公理證明佐恩引理的思路：

假設(shè)佐恩引理不成立，那么存在一個(gè)非空的偏序集，使得它的任何一個(gè)全序子集都有上界，但P中任何元素都不是極大元素。然后，對(duì)于任何一個(gè)全序子集T，可以定義一個(gè)相對(duì)應(yīng)的元素b(T)，使其嚴(yán)格大于T的任意元素，因?yàn)門有一個(gè)上界，P中又必然存在一個(gè)元素嚴(yán)格大于這個(gè)上界。為了確實(shí)地定義函數(shù)b，我們需要用到選擇公理。

利用函數(shù)b，可以構(gòu)造 P的一個(gè)全序子集，這里作為下標(biāo)的指標(biāo)集不僅可以是自然數(shù)，也可以是序數(shù)。事實(shí)上，所有序數(shù)組成一個(gè)真類，粗略地說，可以認(rèn)為序數(shù)的數(shù)目大于任何集合的基數(shù)，P也不例外。所以這個(gè)序列終會(huì)窮盡，這樣就導(dǎo)出了矛盾。

上述的序列可以利用超限歸納法構(gòu)造：可以選擇為 P中任意元素，而對(duì)于任意一個(gè)序數(shù) w，定義，注意av是全序的，所以aw的定義是合理的。

事實(shí)上這個(gè)證明的結(jié)論略強(qiáng)于佐恩引理：

如果P是一個(gè)偏序集，并且它的任何一個(gè)良序子集都有上界，那么對(duì)于 P的任意元素 x而言， P中有一個(gè)大于等于x的極大元。換言之，存在一個(gè)可以與x比較的極大元。

我們也可以直接應(yīng)用選擇公理證明佐恩引理：

根據(jù)選擇公理，對(duì)于一個(gè)偏序集P的所有非空子集X在存在一個(gè)選擇函數(shù) f使得。從 P本身開始：考慮，如果是極大元素則終止，否則構(gòu)造，這里，如果是極大元素則終止，否則用相同的技術(shù)構(gòu)造。

于是我們獲得了P一個(gè)全序子集：

根據(jù)假設(shè)上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素則終止，否則繼續(xù)上述步驟，最終總能夠窮盡P。

不過需要說明的是上述證明并沒有闡明為何最終能夠窮盡P，是一個(gè)不夠嚴(yán)格的證明。見于 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一書。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)