[科普中國(guó)]-基交換公理

擬陣的基公理是刻畫擬陣的一種法則，有限集E的某些子集構(gòu)成的集族B滿足如下條件：1.B非空；2.B中的元素之間均不具有集合的包容關(guān)系；3.B?，B?為B中的元素，且e?∈B?，則在B?中有元素e?，使得(B?-{e?})∪{e?}為B中的元素。這幾個(gè)條件即為基公理，由它決定的集族B，其元素即為擬陣的基。因此，基公理是刻畫擬陣的又一等價(jià)形式。條件2表明B是一條反鏈，而條件3稱為基交換公理(basis exchange axiom)，它和線性空間理論中的基交換定理是一致的，基交換公理可以等價(jià)敘述為如下的中間基公理：對(duì)于E的任意子集X，Y，且X?Y，若在B中有元素B1，B2，使得X?B1，B2?Y，則在B中有元素B?存在，使得X?B3?Y。1

基本介紹沿用線性代數(shù)中的術(shù)語(yǔ)，我們稱擬陣M中的極大獨(dú)立子集為M的基(base)。記(M)為M中全體基的集合。則 (M)=Max()。若E是某個(gè)有限維線性空間V(n，F(xiàn))的子集，則E中任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)子集含有相同個(gè)數(shù)的元素；若B是E中一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)子集，且x∈E-B，則B∪x含有唯一的一個(gè)極小線性相關(guān)子集。擬陣的基也有同樣的性質(zhì)。

定理1設(shè)B是擬陣M的一個(gè)基，且x∈E-B，則B∪x含有一個(gè)唯一的極小圈C。 (我們稱B∪x中這個(gè)唯一的極小圈C為元素x對(duì)應(yīng)于基B的基本極小圈(fundamental circuit of x with respect to B)，記作CM(x，B)或C(x，B)。)

定理****2 設(shè)M(E，)是個(gè)擬陣，令=(M)，則有如下性質(zhì)：

(B1)至少含有一個(gè)元素(即M有至少一個(gè)基)。

(B2) 若B1，B2∈且x∈B1-B2，則必有y∈B2-B1使得(B1-x)∪y∈B。

(B1)和(B2)叫做擬陣的基公理，(B2) 為基交換公理2。

相關(guān)定理定理3 設(shè)E是個(gè)非空集，又設(shè)?2E滿足條件(B2)，則

(B3) 若B1，B2∈ ，則|B1|=|B2|。

證明 用反證法。設(shè)有B1，B2∈(M)并設(shè)|B1||B1|，并且|B1∩B2|盡可能大。

由于|B2|>|B1|，可取x∈B2-B1。據(jù)(B2)，恒有y∈B1-B2使B3=(B2∪y)-x∈B。于是從及可知， ，且。

因而 ，據(jù)B1，B2的選取，B1，B3不能是反例子集對(duì)，故有

這與B1，B2是個(gè)反例子集對(duì)的假設(shè)矛盾，因而(B3)得證。

定理2中的條件(B2)也可以有下列的形式。

定理4 設(shè)M是個(gè)擬陣，則(M)滿足下面的條件。

(B2)' 若B1，B2∈(M)且x∈B1-B2，則必有y∈B2-B1，使得(B2-y)∪x∈。

擬陣的基完全由條件(B1)和(B2)所決定，像擬陣的獨(dú)立集和極小圈一樣，擬陣的基也唯一地確定了所在的擬陣，故(B1)和(B2)叫做擬陣的基公理。

定理5 設(shè)E是個(gè)非空集，又設(shè) ?2E滿足條件(B1)和(B2)，則存在擬陣M(E， )，滿足=(M)。

證明 若有這樣的擬陣M存在，使(M)=，則(M)中的元素一定是中某個(gè)成員的子集2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)