[科普中國]-威廉森型矩陣

威廉森型矩陣(Williamson matrix)是一組特殊的矩陣，其元素為±1，元素為±1的4個m階矩陣A，B，C，D，若滿足AAT+BBT+CCT+DDT=4mI，且對其中的任兩個矩陣M，N均有MNT=NMT，則稱它們?yōu)橥途仃嚕@類矩陣是因為遞推構(gòu)造H矩陣的需要而提出的，若存在m階威廉森型矩陣且存在t階鮑默特-霍爾表，則存在4mt階H矩陣，當(dāng)q為模4余1的質(zhì)數(shù)冪時，存在(q+1)/2階及q(q+1)/2階的威廉森型矩陣，對于階數(shù)不大于29的奇數(shù)及其他較小的階數(shù)，存在威廉森型矩陣1。

基本介紹定義 設(shè)A?，A?，A?，A4為4個m階(1，-1)-矩陣，若以下條件滿足：

(i)

(ii)

則稱{A?，A?，A?，A4}為一組m階****威廉森型矩陣(Williamson型矩陣,Williamson-type matrix)。

定義 設(shè){A?，A?，A?，A4}為4個滿足條件(2)的m階對稱循環(huán)(1,-1)-矩陣。則稱{A?，A?，A?，A4}為一組m階**威廉森(**Williamson)矩陣。

由于n階循環(huán)矩陣都能表成U的多項式。因此任意一對n階循環(huán)矩陣Ai與Aj必可交換即 ．從而Williamson矩陣必滿足條件(1)，亦即Williamson矩陣必為Williamson型矩陣。2

相關(guān)性質(zhì)定理定理1(Geramita-Seberry)設(shè) 若存在OD(n；s?，s?，...，st)及它的一組m階適配矩陣{A?，A?，...，At},則存在mn階H-陣。

定理2 若OD(4s；s,s,s,s)與m階Williamson型矩陣都存在，則4ms階H-陣也必存在。2

證明由定義知，Williamson型矩陣是Baumert-Hall陣列的適配矩陣，從而由定理1即得結(jié)論。

下面是Williamson矩陣和Williamson型矩陣的構(gòu)作方法。

定理3(Williamson)設(shè)n為奇數(shù)，U為如下所給出的n階循環(huán)矩陣

若存在4個如下形狀的n階對稱循環(huán)矩陣：

它們滿足條件：

(i)對任意1≤i≤4,1≤j≤ ,都有 并且對任一j,1≤j≤ , 中都恰有一個為±1,其余3個均為0,

(ii)

則存在佗階Williamson矩陣{A?，A?，A?，A4}。

上述定理把尋求Williamson矩陣的問題轉(zhuǎn)化為尋求滿足定理條件的矩陣組{W?，W?，W?，W4}的問題2。

n階循環(huán)矩陣U的特征多項式為

因此U有n個不同的特征根。從而存在n×n非奇異陣P使

此處V為n×n對角陣,其主對角線元素為n個n次單位根．將式(5)代入式(3)得

也是對角陣,其主對角線元素為

其中 為n個不同的n次單位根。代入式(3)得

特別,由于 為n次單位根。故

由此即得下述引理。

引理1 設(shè)n為奇數(shù)，1≤i≤4，1≤j≤(n-1)/2,若滿足定理3條件的循環(huán)矩陣 存在,則其系數(shù)tij必滿足式9)。

因此為構(gòu)作Wi，1≤i≤4，首先將4n表為4個奇數(shù)的平方和，然后尋求滿足條件的諸系數(shù)tij。

引理2 設(shè)n為奇數(shù)，則4n必可表為4個奇數(shù)的平方和。2

借助于引理1與2，可以在很大程度上減少尋找Wi的工作量，不過即便如此，當(dāng)n較大時，構(gòu)作Williamson矩陣仍非易事。

Williamson方法的一個成功應(yīng)用是Baumert，Golomb與Hall于1962年用以給出23階Williamson矩陣的構(gòu)作，從而證明了92階Hadamard矩陣的存在性，我們把這一結(jié)果整理在下述引理中。

引理3 設(shè)n=23，29，39或43，則n階Williamson矩陣存在，從而4n階H-陣也存在。

夏明遠與劉剛給出的差族與差族，構(gòu)造了兩類Williamson型矩陣。

定理4(Xia，Liu)若q為素數(shù)冪，q≡1(mod 4)，則存在q2階Williamson型矩陣。

定理5 (Xia，Liu)設(shè)q為素數(shù)冪，q≡3(mod 8)，則存在q2階Williamson型矩陣。

由定理4定理5及定理2即得下述定理。

定理6(Xia，Liu)若q為素數(shù)冪，q≡1(mod 4)或q≡3(mod 8)，則4q2階Hadamard矩陣存在。2

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)