[科普中國]-鮑默特-霍爾表

鮑默特-霍爾表(Baumert-Hall array)亦稱鮑默特-霍爾陣列、Baumert-Hall陣列，是阿達(dá)馬矩陣的推廣，因遞推構(gòu)造阿達(dá)馬矩陣而提出，若元素為未定元±A，±B，±C，±D的4t階矩陣的每一行及每一列含每個(gè)未定元X(包括-X)各t次，并且把A，B，C，D看做可換環(huán)中元素時(shí)每兩行都是正交的，則稱該矩陣為t階鮑默特-霍爾表，記為BH[4t]，若存在t階的鮑默特-霍爾表BH[4t]，且存在m階的威廉森型矩陣，則存在4mt階的H矩陣.該H矩陣可將BH[4t]中的未定元A，B，C，D換作4個(gè)威廉森型矩陣而得到，若取A=B=C=D=1，則從一個(gè)BH[4t]得到一個(gè)4t階的H矩陣，當(dāng)t=1+2a10b26c，a，b，c為非負(fù)整數(shù)時(shí)，存在BH[4t]，當(dāng)t為不大于33的奇數(shù)或其他一些奇數(shù)時(shí)，也存在BH[4t]。1

基本介紹定義1設(shè)為正整數(shù),為t個(gè)互相交換的變元,X為元素取自集合的n×n矩陣,若

則稱X為一個(gè)()-型n階正交設(shè)計(jì)(orthogonal design)。記作OD(n；)。當(dāng)t=4，且時(shí)，OD(4s；)叫做s階鮑默特-霍爾(Baumert-Hall)陣列或**鮑默特-霍爾(Baumert-Hall)表**。1階Baumert-Hall陣列OD(4；1，1，1，1)也叫做Williamson陣列。2

鮑默特-霍爾表的構(gòu)作方法下面說明Baumert-Hall陣列的構(gòu)作方法，為此先引入T-序列與循環(huán)T-矩陣的概念。

T-序列設(shè)

是長為n的(0,±1)-序列，若

(i)對1≤j≤n，恰有一個(gè)為±1,其余3個(gè)均為0，

(ii)對1≤j≤n-1,恒有

則稱是一組不相交T-序列。簡稱T-序列(T-sequence)。

循環(huán)T-矩陣對上述T-序列，設(shè)1≤i≤4，令Xi表示以Ai為第一行而生成的n階循環(huán)矩陣，則稱為一組n階不相交循環(huán)T-矩陣，簡稱循環(huán)T-矩陣。2

引理1設(shè)為n階循環(huán)T-矩陣。則

(i)1≤i,j≤4,i≠j,則Xi與Xj不相交,即

(ii)是一個(gè)(1,-1)-矩陣；

(iii)

(iv)對1≤i≤4,Xi的各行和都相等,設(shè)Xi的行和為ni,則

下述定理給出構(gòu)作Baumert-Hall陣列的一個(gè)強(qiáng)有力方法。

定理1(Cooper，J.Wallis) 設(shè)為n階循環(huán)T-矩陣，a，b，c，d為交換變元，令

再設(shè)R為下述n×n矩陣：

將式(6)與式(7)代入下述Goethal-Seidel陣列

則得到一個(gè)OD(4n；n，n，n，n)。

在上述定理中，若取a=b=c=d=1，則得到一個(gè)4n階H-陣，于是得到下述結(jié)果。

定理2若存在一組長為n的T-序列。則存在4n階H-陣。

定理3若4n≤200，則4n階H-陣存在。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)