[科普中國]-正交對角拉丁方

正交對角拉丁方(orthogonal diagonal Latin squares)是一類特殊的正交拉丁方，若一個v階拉丁方的主對角線(位置(i，i)，1≤i≤v)與反對角線(位置(i，v+1-i)，1≤i≤v)均為截態(tài)，則稱之為對角拉丁方。兩個正交的v階對角拉丁方記為ODLS(v)，正交對角拉丁方曾用于構(gòu)作幻方，而ODLS(v)存在的充分必要條件是v≠2，3，6，這是經(jīng)許多作者的努力，由沃利斯(W.D.Wallis)等人于1990年最后完成的1。

基本介紹設(shè)X為n元集，A為X上的r×s陣列，若同行和同列都沒有重復(fù)的元素，則稱A為X上的一個r×s拉丁矩。特別地，當r=s=n時，便得到一個n階拉丁方。若集X={1，2，…，n}上的n階拉丁方A=(aij)滿足aii=i，1≤i≤n，則稱該拉丁方是冪等的。若A滿足aij=aji，1≤i≤j≤n，則稱之為對稱拉丁方。若一個n階拉丁方的n個位置分布在不同行及不同列且含不同的元素，則稱這n個位置構(gòu)成該拉丁方的一個截態(tài)。若一個拉丁方的主對角線(位置(i，i)，1≤i≤n)及反對角線(位置(i，n+1-i)，1≤i≤n)均為截態(tài)，則稱之為對角拉丁方1。

對角拉丁方是主對角線和反對角線均為截態(tài)的拉丁方。

若n階拉丁方A的轉(zhuǎn)置矩陣AT(它當然還是一個n階拉丁方)恰好是A的正交侶，則稱A為一個n階自正交拉丁方。例如與

是正交的，因此A(或AT)就是一個4階自正交拉丁方。自正交拉丁方的存在性問題已于1974年最終解決，結(jié)論是：除去n=2，3，6不存在外，對任意正整數(shù)n存在自正交拉丁方2。

若n階拉丁方A的兩條大對角線恰是它的兩個截態(tài)，則稱A為n階對角拉丁方，兩個n階對角拉丁方若正交，則稱它們?yōu)?一對)n階正交對角拉丁方。例如

與

就是一對5階正交對角拉丁方。一對正交的對角拉丁方的存在性問題也已經(jīng)解決，結(jié)論與自正交拉丁方的一樣，而三個兩兩正交的n階對角拉丁方的存在性已證明除去n=2，3，4，5，6時不存在及n=10，14，15，18，21，22，26，30，33，34，46時尚未知外對其他n值均存在2。

相關(guān)研究成果一個n階拉丁方是含n個相異元素的集X上的一個n階方陣，其每一行和每一列都是X的一個置換，n階拉丁方的一條截態(tài)是位于不同行不同列的n個位置使得其中的n個元素兩兩相異，階n的截態(tài)拉丁方的主對角線(位置{(i,i):1≤i≤n})是一條截態(tài)，階n的對角拉丁方是一個截態(tài)拉丁方，其反對角線(位置((i,n+1-i):1≤i≤n})也是一條截態(tài)。

兩個n階拉丁方稱為正交的，如果把它們迭合在一起時，第一個拉丁方的每一個記號與第二個拉丁方的每一個記號相遇一次且僅相遇一次，t個兩兩正交的n階(對角,截態(tài))拉丁方，簡記作tPOLS(n) (PODLS(n)，POILS(n)),是t個兩兩正交的拉丁方,其每一個都是n階(對角,截態(tài))拉丁方。為方便計我們以記號N(n)(D(n)，I(n))記兩兩正交的n階(對角，截態(tài))拉丁方的最大個數(shù)。

t個兩兩正交的n階對角拉丁方的存在性已被許多數(shù)學(xué)工作者研究過：對于t=1，已經(jīng)證明對所有大于3的正整數(shù)n存在n階對角拉丁方；對于t= 2，已經(jīng)證明對所有大于6的正整數(shù)n存在階為n的一對正交對角拉丁方。對于t≥3，已知的結(jié)果較少。利用成對平衡設(shè)計的方法，Wallis與朱烈在給出了一些界，即當n≥447時D(n)≥3，當n≥511時D(n)≥4，以及當n≥2724時D(n)≥5，漸近地中已證明當n→∞時D(n)→∞。后來利用特異直積的方法，朱烈進一步證明除28個可能的例外，當n≥7時存在三個兩兩正交的n階對角拉丁方，其中118是最大可能的例外值；Wallis和朱烈進一步證明除18個可能的例外，當n≥7為奇數(shù)時存在四個兩兩正交的n階對角拉丁方，其中291是最大可能的例外值。

朱烈朱烈是江蘇蘇州人，現(xiàn)任蘇州大學(xué)教授，兼加拿大《組合學(xué)》雜志編委。論著有《尤拉猜想的簡短證明》、《具齊位子方的正交拉丁方的存在性》、《三個兩兩正交對角拉丁方》、《具相等大小洞的相互正交拉丁方的存在性》等。

朱烈對于兩兩正交的v階對角拉丁方的最大個數(shù)作了一系列研究，利用他本人及其他學(xué)者的結(jié)果，他最后證明了，當v≥7時，除了28個可能的例外值，存在三個兩兩正交的v階對角拉丁方。用dr記符合下述條件的最小正整數(shù)：當v>dr時，存在r個兩兩正交的v階對角拉丁方。已知d2