[科普中國(guó)]-多重極點(diǎn)

極點(diǎn)是復(fù)函數(shù)里面一種數(shù)學(xué)概念，在數(shù)理科學(xué)領(lǐng)域以及信息處理領(lǐng)域有及其廣泛的應(yīng)用。

定義亞純函數(shù)的極點(diǎn)是一種特殊的奇點(diǎn)，它的表現(xiàn)如同 時(shí) 的奇點(diǎn)。這就是說(shuō)，如果當(dāng)z趨于a時(shí)，函數(shù) 趨于無(wú)窮大，那么 在z=a處便具有極點(diǎn)。

假設(shè)U是復(fù)平面C的開(kāi)子集，a是U的一個(gè)元素， 是一個(gè)在定義域內(nèi)全純的函數(shù)。如果存在一個(gè)全純函數(shù) 和一個(gè)非負(fù)整數(shù)n，使得對(duì)于所有U? {a}內(nèi)的z，都有

那么a便稱(chēng)為f的極點(diǎn)。滿足以上條件的最小整數(shù)n稱(chēng)為極點(diǎn)的階。一階的極點(diǎn)又稱(chēng)為簡(jiǎn)單極點(diǎn)，零階的極點(diǎn)又稱(chēng)為可去奇點(diǎn)。當(dāng)n的值大于1時(shí)，a便是f的多重極點(diǎn)。

從以上的定義，我們可以推出一些特征：

如果a是n階極點(diǎn)，則在以上的表達(dá)式中必有g(shù)(a) ≠ 0。因此，我們有

其中h是在a的開(kāi)鄰域內(nèi)全純的函數(shù)，在a處具有n階零點(diǎn)。

另外，由于g是全純函數(shù)，f可以表示為：

這是一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)，它的主部分是有限的。全純函數(shù)∑k≥0ak(z - a)稱(chēng)為f的正則部分。因此，點(diǎn)a是f的n階極點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f在a處的羅朗級(jí)數(shù)中所有低于?n的次數(shù)都為零，而?n次項(xiàng)不為零。1

相關(guān)性質(zhì)如果函數(shù)f的一階導(dǎo)數(shù)在a處具有簡(jiǎn)單極點(diǎn)，則a是f的一個(gè)分支點(diǎn)，但反過(guò)來(lái)不成立。

一個(gè)既不是極點(diǎn)又不是分支點(diǎn)的非可去奇點(diǎn)稱(chēng)為本性奇點(diǎn)。

除了一些孤立奇點(diǎn)外全純的函數(shù)，且所有的奇點(diǎn)均為極點(diǎn)，則該函數(shù)稱(chēng)為亞純函數(shù)。

洛朗級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)中，復(fù)變函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)，是冪級(jí)數(shù)的一種，它不僅包含了正數(shù)次數(shù)的項(xiàng)，也包含了負(fù)數(shù)次數(shù)的項(xiàng)。有時(shí)無(wú)法把函數(shù)表示為泰勒級(jí)數(shù)，但可以表示為洛朗級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)是由皮埃爾·阿方斯·洛朗在1843年首次發(fā)表并以他命名的。

函數(shù)f(z)關(guān)于點(diǎn)c的洛朗級(jí)數(shù)由下式給出：

其中是常數(shù)，由以下的曲線積分定義，它是柯西積分公式的推廣：

積分路徑γ是位于圓環(huán)A內(nèi)的一條逆時(shí)針?lè)较虻目汕箝L(zhǎng)曲線，把c包圍起來(lái)，在這個(gè)圓環(huán)內(nèi)是全純的（解析的）。的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式在這個(gè)圓環(huán)內(nèi)的任何地方都是正確的。在右邊的圖中，該環(huán)用紅色顯示，其內(nèi)有一合適的積分路徑 。如果我們讓是一個(gè)圓 ，其中，這就相當(dāng)于要計(jì)算的限制到上的復(fù)傅里葉系數(shù)。這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結(jié)果。

在實(shí)踐中，上述的積分公式可能不是計(jì)算給定的函數(shù)系數(shù)最實(shí)用的方法；相反，人們常常通過(guò)拼湊已知的泰勒展開(kāi)式來(lái)求出洛朗級(jí)數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的洛朗展開(kāi)式只要存在就是唯一的 ，實(shí)際上在圓環(huán)中任何與相等的，以上述形式表示的給定函數(shù)的表達(dá)式一定就是的洛朗展開(kāi)式。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

何星 - 副教授 - 上海交通大學(xué)