[科普中國]-分枝定界

分枝界限法是由三棲學(xué)者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世紀60年代發(fā)明，成功求解含有65個城市的旅行商問題，創(chuàng)當時的記錄?！胺种缦薹ā卑褑栴}的可行解展開如樹的分枝，再經(jīng)由各個分枝中尋找最佳解。

簡介分枝界限法是由三棲學(xué)者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世紀60年代發(fā)明，成功求解含有65個城市的旅行商問題，創(chuàng)當時的記錄。“分枝界限法”把問題的可行解展開如樹的分枝，再經(jīng)由各個分枝中尋找最佳解。

分枝界限法也能夠使用在混合整數(shù)規(guī)劃問題上，其為一種系統(tǒng)化的解法，以一般線性規(guī)劃之單形法解得最佳解后，將非整數(shù)值之決策變量分割成為最接近的兩個整數(shù)，分列條件，加入原問題中，形成兩個子問題(或分枝)分別求解，如此便可求得目標函數(shù)值的上限（上界）或下限（下界），從其中尋得最佳解。1

基本思想1、基本思想

分枝定界法是一個用途十分廣泛的算法，運用這種算法的技巧性很強，不同類型的問題解法也各不相同。分支定界法的基本思想是對有約束條件的最優(yōu)化問題的所有可行解（數(shù)目有限）空間進行搜索。該算法在具體執(zhí)行時，把全部可行的解空間不斷分割為越來越小的子集（稱為分支），并為每個子集內(nèi)的解的值計算一個下界或上界（稱為定界）。在每次分支后，對凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做進一步分支。這樣，解的許多子集（即搜索樹上的許多結(jié)點）就可以不予考慮了，從而縮小了搜索范圍。這一過程一直進行到找出可行解為止，該可行解的值不大于任何子集的界限。因此這種算法一般可以求得最優(yōu)解。

將問題分枝為子問題并對這些子問題定界的步驟稱為分枝定界法。

2、分枝節(jié)點的選擇

對搜索樹上的某些點必須作出分枝決策，即凡是界限小于迄今為止所有可行解最小下界的任何子集（節(jié)點），都有可能作為分枝的選擇對象（對求最小值問題而言）。怎樣選擇搜索樹上的節(jié)點作為下次分枝的節(jié)點呢？有兩個原則：

1）從最小下界分枝（隊列式FIFO分枝限界法）：每次算完界限后，把搜索樹上當前所有葉節(jié)點的界限進行比較。找出限界最小的節(jié)點，此結(jié)點即為下次分枝的結(jié)點。

優(yōu)點：檢查子問題較少，能較快地求得最佳解；

缺點：要存儲很多葉節(jié)點的界限及對應(yīng)的耗費矩陣，花費很多內(nèi)存空間。

2）從最新產(chǎn)生的最小下界分枝（優(yōu)先隊列式分枝限界法）：從最新產(chǎn)生的各子集中選擇具有最小的下界的結(jié)點進行分枝。

優(yōu)點：節(jié)省了空間； 缺點：需要較多的分枝運算，耗費的時間較多。這兩個原則更進一步說明了，在算法設(shè)計中的時空轉(zhuǎn)換概念。分枝定界法已經(jīng)成功地應(yīng)用于求解整數(shù)規(guī)劃問題、生產(chǎn)進度表問題、貨郎擔問題、選址問題、背包問題以及可行解的數(shù)目為有限的許多其它問題。對于不同的問題，分枝與界限的步驟和內(nèi)容可能不同，但基本原理是一樣的。1

步驟分枝界限法是組合優(yōu)化問題的有效求解方法，其步驟如下所述：

步驟一：如果問題的目標為最小化，則設(shè)定目前最優(yōu)解的值Z=∞

步驟二：根據(jù)分枝法則（Branching rule），從尚未被洞悉（Fathomed）節(jié)點（局部解）中選擇一個節(jié)點，并在此節(jié)點的下一階層中分為幾個新的節(jié)點。

步驟三：計算每一個新分枝出來的節(jié)點的下限值（Lower bound，LB）

步驟四：對每一節(jié)點進行洞悉條件測試，若節(jié)點滿足以下任意一個條件，則此節(jié)點可洞悉而不再被考慮：

此節(jié)點的下限值大于等于Z值。

已找到在此節(jié)點中，具最小下限值的可行解；若此條件成立，則需比較此可行解與Z值，若前者較小，則需更新Z值，以此為可行解的值。

此節(jié)點不可能包含可行解。

步驟五：判斷是否仍有尚未被洞悉的節(jié)點，如果有，則進行步驟二，如果已無尚未被洞悉的節(jié)點，則演算停止，并得到最優(yōu)解。

Kolen等曾利用此方法求解含時間窗約束的車輛巡回問題，其實驗的節(jié)點數(shù)范圍為6-15。當節(jié)點數(shù)為6時，計算機演算所花費的時間大約1分鐘（計算機型為VAZ11/785），當節(jié)點數(shù)擴大至12時，計算機有內(nèi)存不足的現(xiàn)象產(chǎn)生，所以分枝定界法比較適用于求解小型問題。Held和Karp指出分枝定界法的求解效率，與其界限設(shè)定的寬緊有極大的關(guān)系。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

何星 - 副教授 - 上海交通大學(xué)