[科普中國(guó)]-解析開(kāi)拓原理

解析開(kāi)拓原理是擴(kuò)大解析函數(shù)定義域的原理。解析延拓是數(shù)學(xué)上將解析函數(shù)從較小定義域拓展到更大定義域的方法。

定義解析開(kāi)拓原理是擴(kuò)大解析函數(shù)定義域的原理。

設(shè)平面上的區(qū)域D1與D2有一公共部分d，函數(shù)f1(z)在D1內(nèi)解析，函數(shù)f2(z)在D2內(nèi)解析，且在d=D1∩D2上有f1(z)=f2(z)，則函數(shù)是區(qū)域D=D1∪D2上的單值解析函數(shù)。1

解析延拓解析延拓是數(shù)學(xué)上將解析函數(shù)從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過(guò)此方法，一些原先發(fā)散的級(jí)數(shù)在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)。

把解析函數(shù)的定義域擴(kuò)大的過(guò)程。解析開(kāi)拓通常有兩種方法，一種是利用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行解析開(kāi)拓，這是外爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)。他研究了解析函數(shù)用冪級(jí)數(shù)表示的問(wèn)題。另一種解析開(kāi)拓的方法是利用施瓦茲對(duì)稱原理，這是由德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茲建立的把解析函數(shù)定義域作對(duì)稱擴(kuò)大的解析開(kāi)拓法。

解析函數(shù)區(qū)域上處處可微分的復(fù)函數(shù)。17世紀(jì)，L.歐拉和J.leR.達(dá)朗貝爾在研究水力學(xué)時(shí)已發(fā)現(xiàn)平面不可壓縮流體的無(wú)旋場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)Φ(x，y)與流函數(shù)Ψ(x，y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足微分方程組，并指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函數(shù)，這一命題的逆命題也成立?？挛靼褏^(qū)域上處處可微的復(fù)函數(shù)稱為單演函數(shù)，后人又把它們稱為全純函數(shù)、解析函數(shù)。B.黎曼從這一定義出發(fā)對(duì)復(fù)函數(shù)的微分作了深入的研究，后來(lái)，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)