[科普中國]-映射芽

映射芽(germ of mapping)是奇點理論與突變理論的主要研究對象之一。確定在一點的鄰域上的連續(xù)映射的等價類，精確地說，設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，p∈X，考慮由在點p附近定義的全體連續(xù)映射g所構(gòu)成的集合A，A={g|g：U→Y，U是點p的開鄰域，g是連續(xù)映射}，在這個集合里引進等價關(guān)系如下：設(shè)g：U→Y，f：V→Y是A中的兩個映射，若存在點p的開鄰域W，使得W?U∩V，而且f和g在W上的限制相等，即f|W=g|W，則稱f和g等價，在這個等價關(guān)系下的一個等價類就稱為映射在點p的芽，常記為h：(X，p)→Y，這個類中的任何映射g都稱為芽h的代表，而h也稱為映射g在點p的芽，關(guān)于映射的許多概念，如兩個映射的復(fù)合映射等都可以自然的方式搬到映射芽上來，特別地，函數(shù)的相乘、相加等概念能夠以自然的方式搬到函數(shù)芽上，在奇點理論與突變理論中研究的是可微映射芽1。

映射芽的接觸等價映射芽的接觸等價是奇點理論的一個概念，它是反映兩個映射的零點集局部拓?fù)涞葍r的概念.設(shè)是兩個可微映射芽，若存在C微分同胚芽和可微映射芽，這里GL(R)是一般線性群，，I為R上的恒等變換，使得，則稱f和g是C接觸等價的。若φ與L均為Cr可微映射芽，則稱f與g是C接觸等價的，當(dāng)φ與L僅為連續(xù)時，就稱f與g是C0接觸等價的，或稱為拓?fù)浣佑|等價的，若f與g是接觸等價，則局部微分同胚芽φ把在點O的芽映成在點O的芽，于是，f與g是接觸等價的當(dāng)且僅當(dāng)存在一微分同胚芽使得：

1.

2.

用K記由所有滿足下面條件的微分同胚芽相對于結(jié)合映射運算做成的群，這里關(guān)于H存在可微映射芽，使得下圖交換

這里l為嵌入映射，π為投影映射.群K在上的作用由下式刻畫：，1記恒同映射芽：，從而，f與g是接觸等價的當(dāng)且僅當(dāng)f與g屬于群K作用下的同一個軌道1。

映射芽的決定性映射芽的決定性(determinacy of map-germs)是反映映射在一點的局部性質(zhì)，它可以由其在該點的某些導(dǎo)數(shù)所決定.。設(shè)N，P為光滑流形，，CN表示由無窮次可微函數(shù)芽的全體構(gòu)成的集合，表示y0的局部坐標(biāo)，，設(shè)M為

的R線性子空間，給定一個無窮次可微映射芽，若存在可微映射芽使得

則稱g是f的M逼近，若對于f的每個M逼近g，f和g關(guān)于右-左等價關(guān)系都是等價的，則稱f是M決定的，注意，在一般情況下，f的M決定性與點y0的局部坐標(biāo)的選取有關(guān)，但是，當(dāng)M是CN的某個理想I的p次直積時，就與坐標(biāo)系的選取無關(guān)1。

映射芽的右-左等價映射芽的右-左等價是兩個映射之間的一種關(guān)系，指兩個映射經(jīng)過其定義域及值域的坐標(biāo)變換后可以把一個變?yōu)榱硪粋€.，設(shè)是兩個可微映射芽，若存在微分同胚芽和k：(R，0)→(R，0)，使得右圖交換，即k°f=g°h，則稱映射芽f與g是C右-左等價的，若h，k都是C微分同胚芽，則稱f與g是C右-左等價的，若h，k僅是同胚芽，則稱f與g是拓?fù)溆?左等價的，記A=R×L(群R，L的定義參見“映射芽的右等價”和“映射芽的左等價”).群A自然地作用在上，這里記可微映射芽之全體，即

f與g右-左等價當(dāng)且僅當(dāng)存在(h，k)∈A使

亦即f與g屬于群A作用下的同一個軌道。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所