[科普中國]-k階導(dǎo)網(wǎng)

k階導(dǎo)網(wǎng)(k-jet)是奇點(diǎn)理論的一個(gè)重要概念，函數(shù)或映射在一點(diǎn)的直到k階的導(dǎo)數(shù)之全體，并把它看做高維空間的一個(gè)點(diǎn)，考慮由Rn映入Rp的無窮次可微的，并把原點(diǎn)映為原點(diǎn)的映射全體做成的空間，記為C∞(n，p)，對(duì)于f，g∈C∞(n，p)，若f和g在原點(diǎn)O的所有階≤k的導(dǎo)數(shù)都對(duì)應(yīng)相等，則稱f與g在原點(diǎn)處k階等價(jià)，C∞(n，p)中的映射在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下的一個(gè)等價(jià)類就稱為k階導(dǎo)網(wǎng)。映射f的等價(jià)類就稱為f在點(diǎn)O的k階導(dǎo)網(wǎng)，記為jkf(0)，在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下，C∞(n，p)中的映射的所有等價(jià)類做成的集合記為Jk(n，p)，在Rn和Rp里選取定了坐標(biāo)系之后，取f在點(diǎn)O的直到k階導(dǎo)數(shù)的值作為jkf(0)的坐標(biāo)，于是，Jk(n，p)也是歐氏空間，稱為k階導(dǎo)網(wǎng)空間。特別地，對(duì)映射芽f∈C∞(n，p)，f的一階導(dǎo)網(wǎng)j1f(0)就是f在原點(diǎn)處的雅可比矩陣，所以一階導(dǎo)網(wǎng)空間J1(n，p)就可以看做是由n×p矩陣的全體做成的空間L(n，p)。

k階導(dǎo)網(wǎng)映射k階導(dǎo)網(wǎng)映射(k-jet mapping)是一種特殊的映射，是由給定的映射導(dǎo)出的到導(dǎo)網(wǎng)空間的映射。是指：對(duì)給定的映射f，對(duì)其定義域上的每個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)f在該點(diǎn)的k階導(dǎo)網(wǎng)。設(shè)M，N是微分流形，是無窮次可微映射，可以定義從M到導(dǎo)網(wǎng)叢空間的映射如下：

{在里的等價(jià)類}，

稱映射為映射f的k階導(dǎo)網(wǎng)映射，f的k階導(dǎo)網(wǎng)映射仍為無窮次可微映射1。

相關(guān)概念導(dǎo)網(wǎng)叢(jet bundle)是奇點(diǎn)理論的一個(gè)重要概念，指流形之間的所有可能的映射在各點(diǎn)的直到某階導(dǎo)數(shù)之全體所形成的空間，設(shè)M，N是兩個(gè)微分流形，是無窮次可微的映射，是一整數(shù)，稱f與g在點(diǎn)p為k階等價(jià)，是指滿足下面兩個(gè)條件1：

1.

2.任意選取點(diǎn)p與點(diǎn)的局部坐標(biāo)系，對(duì)于選取的局部坐標(biāo)系，f和g的所有階≤k的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)p的值都對(duì)應(yīng)地相等。

這個(gè)條件與點(diǎn)p和點(diǎn)q=f(p)的局部坐標(biāo)系的選取無關(guān)，常以記號(hào)記f與g在p點(diǎn)k階等價(jià)，于是，k階等價(jià)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，考慮映射集合

{，f無窮次可微}，

這個(gè)集合在k階等價(jià)這個(gè)等價(jià)關(guān)系下分成一些等價(jià)類， 由這些等價(jià)類做成的空間記為，若

則稱為k階導(dǎo)網(wǎng)空間，元素稱為從M到N的映射的k階導(dǎo)網(wǎng)，若，則有，使得，這時(shí)點(diǎn)p稱為σ的“源”，q稱為σ的“的”，又定義映射α與β如下：

稱α為源映射，β為的映射，從而，是一纖維叢，稱為M×N上的k階導(dǎo)網(wǎng)叢，而且也是微分流形1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所