[科普中國]-泰特猜想

泰特猜想(Tait's conjecture)是關(guān)于圖的著色的一個著名猜想，3正則圖的3邊正常著色稱為泰特著色。泰特猜想：每個簡單3正則3連通平面圖都有泰特著色，它與四色猜想等價，泰特(P.G.Tait)曾根據(jù)“每個3正則3連通平面圖都是哈密頓圖”的錯誤假設(shè)，給出了四色猜想的一個“證明”，塔特(W.T.Tutte)于1946年構(gòu)造了一個3正則3連通的平面圖，在這圖上不存在哈密頓圖，這個圖稱為塔特圖，由此推翻了泰特于1880年給出的四色猜想的“證明”1。

基本介紹對于復(fù)阿貝爾簇 ，它的子群 同構(gòu)于加法群 ．如果A是定義在數(shù)域K上，將 中所有點(diǎn)的坐標(biāo)添加到K中，形成K的一個擴(kuò)域 ， 是K的代數(shù)閉包量 的子域。伽羅瓦群 作用在子群A[n]上，給出G在 上的伽羅瓦表示，現(xiàn)在取素數(shù) ，則有自然滿同態(tài) ，于是有極限 ，這叫作阿貝爾簇A的泰特模。由極限過程知， 群同構(gòu)于 ，其中 是1-adic整數(shù)環(huán)。群G通過取極限作用在 上，從而給出G在 中的1-adic表示。進(jìn)而，若B是定義在K上的另一個阿貝爾簇，則所有從A到B的群同態(tài)形成加法群 ，而與G作用可交換的從 到 的群同態(tài)形成群 ，泰特猜想是說：

(1)G到 上的1-adic表示 是半單的；

(2)有群同構(gòu) ．

每個同態(tài) 自然誘導(dǎo)出泰特模之間的一個同態(tài) ，而猜想(2)本質(zhì)上相當(dāng)于說： 由 所決定，即阿貝爾簇之間的同態(tài)由它在泰特模上的作用所決定，并且 到 的每個G-同態(tài)都是由某個 誘導(dǎo)出來的2。

泰特猜想的證明法爾廷斯首先證明了泰特猜想，然后由泰特猜想再推出關(guān)于阿貝爾簇的沙法列維奇猜想，這也就證明了關(guān)于曲線的沙法列維奇猜想和莫代爾猜想。

法爾廷斯證明泰特猜想和關(guān)于阿貝爾簇的沙法列維奇猜想的方法本質(zhì)上是費(fèi)馬于三百年前發(fā)明的無窮下降法，費(fèi)馬在證明方程 沒有正整數(shù)解時，他假定 是一組正整數(shù)解，由此又導(dǎo)出另一組正整數(shù)解 ，使得c'