[科普中國]-第五類典型域

第五類例外典型域(exceptional classical do-main of fifth class)是典型域之一。典型域是多復(fù)變函數(shù)論的基本概念。Cn中不可分解對稱有界域在全純等價下分類的標準域稱為典型域。

概念第五類例外典型域(exceptional classical do-main of fifth class)是典型域之一。第五類例外典型域Rv(16)：它雙全純同構(gòu)于無界域：

第四類典型域第四類典型域(classical domain of fourthclass)亦稱李球，典型域之一。第四類典型域：

其中z=(z1，z2，…，zn)為由n個獨立復(fù)變量z1，z2，…，zn構(gòu)成的1×n矩陣。

第三類典型域第三類典型域(classical domain of third class)是典型域之一。第三類典型域：

其中Z′=-Z，即Z由n(n-1)/2個獨立變量：

構(gòu)成，又：

典型域典型域是多復(fù)變函數(shù)論的基本概念。Cn中不可分解對稱有界域在全純等價下分類的標準域稱為典型域。它們有四大類和兩個特殊的域，分別在16維及27維復(fù)歐氏空間中，這兩個域也稱為例外典型域。1

多復(fù)變函數(shù)論多復(fù)變函數(shù)論是研究多個復(fù)變量的全純函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的學科，是分析學的一個分支，有時也稱之為多復(fù)分析。

多復(fù)變函數(shù)論的研究，早在單復(fù)變函數(shù)論的黎曼和外爾斯特拉斯時代就已經(jīng)零散地開始了。但真正標志著多復(fù)變函數(shù)論這一學科創(chuàng)立的，是19世紀末和20世紀初龐加萊、庫辛和哈托格斯等人的工作。他們的工作揭示了多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)本質(zhì)上的獨特性。在這當中，庫辛提出的關(guān)于全純函數(shù)整體性質(zhì)的兩個以他的名字命名的問題以及列維提出的擬凸域和全純域是否等價的問題，更有著深遠的影響，長時間成為多復(fù)變函數(shù)論發(fā)展的推動因素。20世紀30年代以前，雖然出現(xiàn)過萊因哈特關(guān)于解析自同構(gòu)群、伯格曼關(guān)于核函數(shù)和度量等方面的重要工作，但整體說來，多復(fù)變函數(shù)論處于相對沉寂時期。從20世紀30年代開始，多復(fù)變函數(shù)的研究迎來了初步繁榮。在這一時期陸續(xù)出現(xiàn)了H.嘉當關(guān)于全純自同構(gòu)的唯一性定理、有界域全純自同構(gòu)群的李群性質(zhì)以及全純域與全純凸的等價性的嘉當—蘇倫定理等突出成果。特別是從1936年開始，日本數(shù)學家岡潔對庫辛問題、列維問題、逼近問題等多復(fù)變的中心問題進行了長期、系統(tǒng)而富有成效的研究，終于在20世紀50年代對上述諸問題給出了解答。他的這一系列工作對后來多復(fù)變函數(shù)的發(fā)展有著重大影響。20世紀50年代以后，和現(xiàn)代數(shù)學的綜合化、抽象化的總潮流相一致，在多復(fù)變函數(shù)論中用拓撲方法和幾何方法研究全純函數(shù)的整體性質(zhì)的趨勢變得越來越明顯。由勒雷引進拓撲學的層及其上同調(diào)的概念被迅速而成功地用于多復(fù)變函數(shù)。這一概念和H.嘉當早先關(guān)于全純函數(shù)理想論的研究以及岡潔的思想結(jié)合，導(dǎo)致了凝聚解析層理論的建立。與此同時，復(fù)空間與施泰因流形的概念也應(yīng)運而生。H.嘉當和塞爾系統(tǒng)地應(yīng)用凝聚層理論建立了施泰因流形的基本定理。此后不久，格勞爾特解決了復(fù)流形的列維問題，他和雷默特、施泰因等人還大大發(fā)展了復(fù)空間的理論。整個20世紀50年代是多復(fù)變函數(shù)的黃金時代。

另一方面，近代微分幾何與復(fù)分析的相互融合也在不斷地加快步伐。1913年，外爾的黎曼曲面理論導(dǎo)致了復(fù)流形概念的建立。E.嘉當?shù)耐馕⒎质脚c拓撲的結(jié)合產(chǎn)生了德·拉姆的上同調(diào)理論。以此為基礎(chǔ)，霍奇將黎曼曲面上的調(diào)和函數(shù)理論推廣到高維的緊致復(fù)流形，證明了緊復(fù)流形的基本定理——霍奇定理。20世紀40年代以后，與微分幾何中的博赫納技巧相結(jié)合，霍奇理論又由小平邦彥所發(fā)展和完善。20世紀60年代，博赫納—小平邦彥方法又進而推廣到非緊的帶邊界的復(fù)流形，發(fā)展成為近代多復(fù)分析的一個有力工具——問題的L估計。

多復(fù)變函數(shù)論中具有重要意義的第三方面進展是西格爾在1935——1950年間建立的多復(fù)變函數(shù)的自守函數(shù)論。20世紀50年代以后，由于塞爾伯格、朗蘭茨、蓋爾范德等人的工作，揭示了它與代數(shù)數(shù)論、李群的無窮維表示、代數(shù)幾何等眾多學科的內(nèi)在聯(lián)系，而日益成為目前極為活躍而且引人注目的近代數(shù)學領(lǐng)域之一。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學院