[科普中國]-商度量空間

商度量空間是度量空間的一種，一個拓?fù)淇臻g是序列的，當(dāng)且僅當(dāng)該空間是個度量空間的商空間。

介紹在數(shù)學(xué)中，度量空間是個具有距離函數(shù)的集合，該距離函數(shù)定義集合內(nèi)所有元素間之距離。此一距離函數(shù)被稱為集合上的度量。1

度量空間中最符合人們對于現(xiàn)實直觀理解的為三維歐幾里得空間。事實上，“度量”的概念即是歐幾里得距離四個周知的性質(zhì)之推廣。歐幾里得度量定義了兩點(diǎn)間之距離為連接這兩點(diǎn)的直線段之長度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狹義相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。

度量空間還能導(dǎo)出開集與閉集之類的拓?fù)湫再|(zhì)，這導(dǎo)致了對更抽象的拓?fù)淇臻g之研究。

若 M 為度量空間，其度量為 d，且 ~ 為 M 上之等價關(guān)系，則可在商集合 M/~ 上賦加下面的（偽）度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y]，可定義

其中，（即取從 [x] 至 [y] 經(jīng)過所有等價類之路徑的最短長度）。一般來說，這僅能定義出一個偽度量，即 d'([x],[y])=0 不一定蘊(yùn)涵 [x] = [y]。不過，對于良好的等價關(guān)系（如將多面體沿著面膠合），則會是個度量。此外，若 M 是個緊致空間，則該度量在 M/~ 上導(dǎo)出之拓?fù)錇樯掏負(fù)洹?/p>

商度量 d 具有下列泛性質(zhì)：若 是個度量空間之間的度量映射（即對于所有 x、y，），滿足當(dāng) 時，f(x)=f(y) 的條件，則函數(shù) 定義為 ，亦會是個度量映射。

一個拓?fù)淇臻g是序列的，當(dāng)且僅當(dāng)該空間是個度量空間的商空間。

度量空間的推廣每個度量空間都自然會是個一致空間，而每個一致空間也都自然會是個拓?fù)淇臻g。因此，一致空間與拓?fù)淇臻g均可視為度量空間的推廣。2

若考量上面給定之度量空間的第一個定義，放寬定義中的第二個條件，則可得到偽度量空間。若移除第三個或第四個條件，則可分別得到擬度量空間與半度量空間。

若距離函數(shù)的對應(yīng)域為擴(kuò)展實數(shù)線R∪{+∞}，定義中的四個條件維持不變，則稱該空間為擴(kuò)展度量空間。若距離函數(shù)的對應(yīng)域為某個（適當(dāng)?shù)模┯行蚣ㄇ胰遣坏仁接袑?yīng)的調(diào)整），則可得出“擴(kuò)展超度量”這個概念。

趨近空間是度量空間的推廣，以點(diǎn)對集合的距離取代點(diǎn)對點(diǎn)的距離。

連續(xù)性空間是度量空間與偏序集的推廣，用來統(tǒng)整度量空間與域的概念。

部分度量空間是為了對度量空間作最小化的推廣，使得每個點(diǎn)對自身的距離不再一定為零。

度量空間等價性的概念度量空間之間有著不同的等價性。依據(jù)兩個空間之間能夠存在的函數(shù)，可給出不同等價的程度與類型。

給定兩個度量空間 (M1,d1) 和 (M2,d2):

這兩個空間稱之為同胚（拓?fù)渫瑯?gòu)）的，若存在兩者間的同胚（即兩個方向均為連續(xù)的雙射）。在此條件下，這兩個空間能導(dǎo)出相同的拓?fù)淇臻g。

這兩個空間稱之為一致同構(gòu)的，若存在兩者間的一致同構(gòu)（即兩個方向均為一致連續(xù)的雙射）。

這兩個空間稱之為等距同構(gòu)的，若存在兩者間的等距同構(gòu)雙射。在此一條件下，兩個度量空間基本上是相同的。

這兩個空間稱之為擬等距同構(gòu)的，若存在兩者間的擬等距同構(gòu)。

參見三角不等式

利普希茨連續(xù)

等距同構(gòu)，壓縮映射和度量映射

范數(shù)

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學(xué)院