[科普中國]-巴拿赫流形

巴拿赫流形是有限維流形的無窮維推廣，巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形，光滑流形一般是指C∞流形。

簡介巴拿赫流形是有限維流形的無窮維推廣。

設(shè)M是豪斯多夫拓?fù)淇臻g，E是巴拿赫空間。若對于M上的每一點p，均存在p的開鄰域U與從U到E中某開集上的同胚映射φ:U→p(U) E，則稱M為以E為模的巴拿赫拓?fù)淞餍位蛘逤0巴拿赫流形。

這時每個(U,φ)稱為M上的個區(qū)圖。

性質(zhì)設(shè)M是以E為模的C0巴拿赫流形，r是某個正整數(shù)或+∞，(Uα,φα)與(Uβ,φβ)是M上的兩個區(qū)圖。若Uα∩Uβ=?，或當(dāng)Uα∩Uβ≠?時其傳遞函數(shù)是Cr微分同胚，則稱這兩個區(qū)圖是Cr相容的。

設(shè)D是由M上的一些區(qū)圖所成之族。若D中任意兩個成員均是Cr相容的，且D構(gòu)成M的開覆蓋，則稱D為M上的一個Cr圖冊。如果M上的一個Cr圖冊D在Cr相容的意義下還是極大的，即不能在D中再添加新的成員使其仍保持Cr相容性，則稱D為M上的一個Cr微分結(jié)構(gòu)。

特殊巴拿赫流形M連同其上指定的一個Cr微分結(jié)構(gòu)D，稱為以E為模的Cr巴拿赫流形，記為(M,D)。由于M上的一個C圖冊總可惟一地生成一個極大的Cr圖冊，因此當(dāng)給定了M上的一個Cr圖冊D（不必極大）時，亦稱(M,D)是Cr巴拿赫流形。

C巴拿赫流形(M,ID)上的區(qū)圖指的是D中的成員。當(dāng)p∈Uα?xí)r，(M,D)上的區(qū)圖(Uα,φα)亦稱為在點p處的局部坐標(biāo)系。r≥1時的Cr巴拿赫流形稱為巴拿赫微分流形。如無特別說明，

巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形，光滑流形一般是指C∞流形。

巴拿赫空間E本身，連同其上的一個C∞圖冊D={(E,I)}（此圖冊僅由一個成員組成，其中I為E上的恒同映射），成為一個以E為模的C∞巴拿赫流形。通常說到E是巴拿赫流形時即是在此意義下而言。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學(xué)院