[科普中國]-廣義高斯-格林公式

廣義高斯-格林公式（廣義高斯-格林公式）是一般高斯-格林公式在測度積分形式下的推廣。

簡介廣義高斯-格林公式是一般高斯-格林公式在測度積分形式下的推廣。

高斯-格林公式利用密度概念可以定義的另一個重要概念是集合在一點處的外法線，當(dāng)所論集合有光滑邊界時，這個概念很直觀，在一般情形則較為復(fù)雜。給定點集Q與測度v，可以定義一個新的測度v∟Q如下：對于集合G，規(guī)定G關(guān)于v∟Q的測度v∟Q(G)=v(Q∩G)。因此，Rn中集合A在一點b處的外法向量是如下定義的一個單位向量u=n(A,b)，它使得對于

有

定義上述概念只含點集A關(guān)于μn的測度性質(zhì)，而不需要預(yù)先知道A的幾何性質(zhì)，甚至連邊界的概念也未提到，鑒于這樣廣義的概念，使人們可將古典的高斯-格林公式推廣到相當(dāng)一般的形式：設(shè)A為Rn中的子集，

如果對于每個緊集，則對于Rn上每個有緊支集的李普希茨一階向量場ξ，有

此處表示內(nèi)積。

另一方面，若以Bd A記A的普通邊界，則當(dāng)對于Rn中的每個緊集K，都有時，上述條件滿足，從而上述廣義高斯-格林定理成立。1

測度數(shù)學(xué)上，測度（Measure）是一個函數(shù)，它對一個給定集合的某些子集指定一個數(shù)，這個數(shù)可以比作大小、體積、概率等等。傳統(tǒng)的積分是在區(qū)間上進行的，后來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發(fā)展出測度的概念，它在數(shù)學(xué)分析和概率論有重要的地位。

**定義1：**構(gòu)造一個集函數(shù)，它能賦予實數(shù)集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數(shù)mE。我們將此集函數(shù)稱為E的測度。

**定義2：設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù)，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }**是一集合函數(shù)，且ρ滿足：

（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為概率測度。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

李華青 - 副教授 - 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院