[科普中國]-疊合度

疊合度亦稱重合度，是為了討論方程Lx=Nx的解，利用勒雷-紹德爾度來定義的一種度。

簡介疊合度亦稱重合度，是為了討論方程Lx=Nx的解，利用勒雷-紹德爾度來定義的一種度。

這里L(fēng):domL?X→Z是零指標(biāo)的弗雷德霍姆線性算子，N:?X→Z是非線性算子，X,Z是巴拿赫空間，Ω是X中有界開集。由假定可知，存在有限維子空間N0?Z與商空間Z/Im L同構(gòu)，且存在連續(xù)投影算子P:X→ker L,Q:Z→N0滿足ImP= ker L，kerQ= ImL，X= ker L?kerP，Z= ImL?ImQ。記Kp:ImL→dom L∩ ker P為L在dom L∩ker P上的限制的逆算子，并令KP,Q=KP(I-Q):Z→domL∩kerP，這里I為恒同映射。

設(shè)J:ImQ→ker L是一同構(gòu)，并令HJ,P,Q= JQ+Kp,Q:Z→dom L。設(shè)N是L緊的（即QN:→Z和KP,Q,N:→X都是緊的）且0?F(dom L∩?Ω)，這里F= L-N。于是，易知HJ,P,Q=I-A,其中A=P+ JQN+Kp,QN:→X是全連續(xù)算子，且0?(I-A)(?Ω)，故勒雷-紹德爾度deg(I- A,Ω,0)存在，它就定義為F在Ω上關(guān)于L的疊合度，記為DL(F,Ω)。

應(yīng)用疊合度可證DL(F,Ω)與P,Q以及J（保持定向）的選擇無關(guān)，并具有可加性、同倫不變性、可解性等性質(zhì)。

例如，可解性指的是：若DL(F,Ω)≠0，則Lx=Nx在domL∩|Ω中有解。

疊合度是討論非線性常微分方程邊值問題一個有力工具。1

勒雷-紹德爾度勒雷-紹德爾度是對無窮維賦范線性空間中的全連續(xù)向量場建立的拓?fù)涠取?/p>

設(shè)X是賦范線性空間，Ω是X中的有界開集，F(xiàn):→X全連續(xù)，f=I-F是全連續(xù)向量場，p∈X\f(?Ω)，那么，距離dist(p,f(?Ω))=ε>0。取X的有限維線性子空間Xn與連續(xù)映射Fn:→Xn使得p∈Xn，且‖F(xiàn)(x)-Fn(x)‖