[科普中國(guó)]-本質(zhì)自伴算子

本質(zhì)自伴算子（essentially self-adjoint operator）具有自伴擴(kuò)張的對(duì)稱算子。

簡(jiǎn)介本質(zhì)自伴算子具有自伴擴(kuò)張的對(duì)稱算子。

對(duì)稱算子A為本質(zhì)自伴的充分條件有（其中條件1也是必要的）：

1、n-=n+，其中(n-=n+)為A的虧指數(shù)；

2、A是半有界的，即存在實(shí)數(shù)r使對(duì)一切x∈??(A)都有(Ax,x)≥r||x||2。

3、A是實(shí)算子，即存在H到H的反線性映射J（即滿足(Jx,Jy)=(y,x),J2=I,JA=AJ）。1

對(duì)稱算子設(shè)T是作用在希爾伯特空間H上的稠定算子，如果對(duì)任意有。亦即，則稱T是對(duì)稱算子。

每個(gè)對(duì)稱算子都有閉的對(duì)稱擴(kuò)張。如果對(duì)稱算子T沒有真的對(duì)稱擴(kuò)張，即若且S是對(duì)稱算子一定有成立時(shí)，則稱T是極大對(duì)稱的（maximally symmetric ）。

在一定條件下，對(duì)稱算子與等距算子可通過凱萊變換相互轉(zhuǎn)化。

虧指數(shù)虧指數(shù)是與對(duì)稱算子有關(guān)的數(shù)對(duì)。

設(shè)A是復(fù)希爾伯特空間H中的對(duì)稱算子，??(A+iI)⊥和??(A-iI)⊥稱為A的虧子空間，記n+=dim??(A+iI)⊥，n-=dim??(A-iI)⊥（這里空間的維數(shù)指該空間中完備規(guī)范正交系的勢(shì)），稱數(shù)對(duì)(n+,n-)為A的虧指數(shù)。

A自伴的充分必要條件是n-=n+=0。

對(duì)稱算子A具有自伴擴(kuò)張的充分必要條件是n-=n+。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院