[科普中國(guó)]-沃利斯乘積

沃利斯乘積是約翰·沃利斯提出的一個(gè)有名的數(shù)學(xué)公式。

定義數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯在1655年寫(xiě)下了今日有名的沃利斯乘積

當(dāng)時(shí)證明今日多數(shù)的微積分教科書(shū)透過(guò)比較{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{n}xdx}在n是奇數(shù)或是偶數(shù)，甚至是接近無(wú)窮大的情況下，發(fā)現(xiàn)即使將n增加一就會(huì)發(fā)生不一樣的情形。在那時(shí)，微積分尚未存在，而且有關(guān)數(shù)學(xué)收斂的分析工具也還未俱全，所以完成這證明較現(xiàn)今有相當(dāng)?shù)碾y度。從現(xiàn)在來(lái)看，從歐拉公式中的正弦展開(kāi)式得到此乘積是必然的結(jié)果。

在x= π/2時(shí)

嚴(yán)謹(jǐn)證明先考慮不定積分{\displaystyle \int \sin ^{n}xdx}有

故

對(duì)整數(shù)m

另一方面

兩式相除得

故

又因?yàn)?/p>

由夾擠定理知

故

尋找 ζ(2)我們可將上述的正弦乘積式化為泰勒級(jí)數(shù)：

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

楊曉紅 - 副教授 - 西南大學(xué)