[科普中國(guó)]-埃伯萊因-斯穆良定理

埃伯萊因-斯穆良定理是揭示巴拿赫空間的子集弱緊與弱序列緊相同的重要定理。

簡(jiǎn)介埃伯萊因-斯穆良定理是揭示巴拿赫空間的子集弱緊與弱序列緊相同的重要定理。

巴拿赫空間的子集是相對(duì)弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)它是相對(duì)弱序列緊的。特別地，巴拿赫空間的子集是弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)它是弱序列緊的。1

上述定理是埃伯萊因(Eberlein,F.)和斯穆良(mulian,V.)于1947年得到的，它在泛函分析中有著廣泛的應(yīng)用。

弱緊一個(gè)集稱為弱緊的是指它的關(guān)于τ(X,X*)的任一開(kāi)集族的覆蓋有有限子覆蓋。一個(gè)集稱為弱?緊的是指它的關(guān)于τ(X*,X)的任一開(kāi)集族的覆蓋有有限子覆蓋。

由于弱開(kāi)集必是開(kāi)集，故緊蘊(yùn)涵弱緊。同樣，在X*上，緊蘊(yùn)涵弱緊且弱緊蘊(yùn)涵弱?緊。

推論：設(shè)X是Banach空間：

(1)X中弱緊集必是有界的弱閉集，從而必是有界的閉集；

(2)X*中弱?緊集必是有界的弱?閉集，從而必是有界的閉集。2

弱序列緊賦范空間X的子集A叫做緊的，如果A中的每個(gè)點(diǎn)列包含一個(gè)子序列，該子序列在X中收斂到A中的一個(gè)元素．緊集是閉有界集，但閉有界集不一定是緊的，除非X是有限維的。

A叫做準(zhǔn)緊的，如果其閉包?。ㄔ诜稊?shù)拓?fù)湎拢┦蔷o的。

A叫做弱序列緊的，如果A中的每個(gè)序列包含一個(gè)子序列，該子序列在X中弱收斂到A中的一點(diǎn)。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)