[科普中國]-相平面法

相平面法是一種基于時域的分析方法。根據(jù)繪制出的x-x·相軌跡圖，研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。由于在相平面上只能表示兩個獨立的變量，故相平面法只適用于一二階線性和非線性系統(tǒng)。

相平面、相軌跡和相平面圖二階時不變系統(tǒng)（可以是線性的，也可以是非線性的）一般可用常微分方程來描述。若在所討論的時間范圍內(nèi)，對于任意給定的時刻，系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量的值都是已知的，則可以掌握系統(tǒng)運動的全部信息。通過相軌跡，就可以做到這一點。以x為橫坐標(biāo)，x·為縱坐標(biāo)，構(gòu)成一個直角坐標(biāo)平面，稱為相平面；在相平面上表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的點(x，x·)移動所形成的軌跡稱為相軌跡。相軌跡的起始點由系統(tǒng)的初始條件（x0，x·0）確定，相軌跡上用箭頭方向表示隨參變量時間t的增加，系統(tǒng)的運動方向。以各種可能的初始條件為起始點，可以得到相軌跡簇，相平面和相軌跡簇合稱為相平面圖。1

相軌跡和相平面圖的性質(zhì)(1)相軌跡的斜率若相軌跡上任意一點的斜率為a，則

(2)相軌跡的對稱性

按照圖形對稱的條件，關(guān)于橫軸或縱軸對稱的曲線，其對稱點處的斜率大小相等，符號相反；關(guān)于原點對稱的曲線，其對稱點處斜率大小相等，符號相同。

(3)相平面圖的奇點

由相軌跡斜率的定義可知，相平面上的一個點只要不同時滿足某一條件，則該點的相軌跡斜率確定，通過該點的相軌跡只能有一條，即相軌跡曲線簇不會在該點相交；同時滿足的點稱為奇點，該點的相軌跡斜率為0/0型的不定形式，通過該點的相軌跡可能不止一條，且彼此的斜率也不相同，即相軌跡曲線簇在該點相交。

(4)相軌跡的運動方向

在相平面的上半平面，x·>0，所以系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡曲線運動的方向是x增大的方向，即向右運動；在相平面的下半平面，則是向左運動。因此，有時候在繪制相軌跡時也可不用箭頭標(biāo)明方向。1

相軌跡圖的繪制相軌跡的繪制方法有解析法與圖解法兩種。解析法通過求解微分方程找出x與x·的解析關(guān)系，從而在相平面上繪制相軌跡。具體方法為參變量t消去法和直接積分法。圖解法常用的有兩種，即等傾線法和圓弧近似法。

1.解析法。解析法適用于比較簡單，或者可以分段線性化的微分方程。可以利用直接積分法得出相軌跡方程。

2.圖解法。當(dāng)系統(tǒng)的微分方程難以求解時，可采用圖解法，直接通過各種逐步作圖的辦法，在相平面上畫出相軌跡。圖解法有多種，主要是等傾線法。2

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武偉 - 高級工程師 - 天津直升機有限責(zé)任公司